Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

Question 1

Câu 1:

Trong không gian $Oxyz$, tâm $I$ của mặt cầu $(S):{x^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 1)^2} = 4$ có toạ độ là:

A
$I(0; - 2; - 1)$.
B
$I(0; - 2;1)$.
C
$I(0;2;1)$.
D
$I(0;2; - 1)$.

Answer

$I(0; - 2; - 1)$.

Question 2

Câu 2:

Nếu $\int\limits_0^3 {f(x)} dx = – 3$ và $\int\limits_0^3 {g(x)} dx = – 5$ thì $\int\limits_0^3 {\left[ {f(x) – g(x)} \right]dx} $ bằng

A
$8$.
B
$ - 8$.
C
$2$.
D
$ - 2$.

Answer

$\overrightarrow v = (2; - 1; - 1)$.

Answer

$({\log _6}3; + \infty )$.

Answer

$3{a^3}$.

Answer

$32{a^3}$.

Answer

$\left( {2\,;\, - 2\,;\,2} \right)$.

Answer

$y' = {3^x}\ln 3$.

Answer

$\int {f\left( x \right){\text{d}}x = - \sin x + x + C} $.

Answer

$48\pi $.

Answer

$\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = {x^3} + C$.

Answer

$\left( {2; - 3} \right)$.

Answer

${a^{\frac{1}{4}}}$.

Answer

$S = 16\pi {R^2}.$

Answer

$\left( { - \infty \,;\, - 2} \right)$.

Answer

$1 + i$.

Answer

$x = 11$.

Answer

$C_n^3 = \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}}$.

Answer

$\left( { - \infty ;1} \right)$.

Answer

$ - 3i$.

Answer

$2x + 2y + z - 11 = 0$.

Answer

$x = 2a + 3b$.

Answer

$60^0}$.

Answer

$3\sqrt 2 a$.

Answer

$54\pi $.

Answer

$y = {x^3} - 3x + 1$.

Answer

$m = 4$.

Answer

$x - y - 3z + 9 = 0$

Answer

$\frac{7}{{44}}$.

Answer

$y = 1$.

Answer

$a\sqrt 2 $.

Answer

$I = 4$.

Answer

$\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}$.

Answer

$S = \frac{3}{4} - \frac{\pi }{4}$.

Answer

$\left( {3; - 12;10} \right)$.

Answer

$\frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{3}$.

Answer

$a > 0;b < 0;c > 0$.

Answer

$\sqrt {53} $.

Answer

$\frac{{791}}{{640}}$.

Answer

$\frac{{22}}{5}$.

Question 3

Câu 3:

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $(d):\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{1}$ có vectơ chỉ phương là

A
$\overrightarrow v = (2;1;1)$.
B
$\overrightarrow v = (2; - 1; - 1)$.
C
$\overrightarrow v = (2; - 1;1)$.
D
$\overrightarrow v = (2;1; - 1)$.

Question 4

Câu 4:

Tập nghiệm của bất phương trình ${3^x} > 6$ là

A
$(2; + \infty )$.
B
$({\log _6}3; + \infty )$.
C
$({\log _3}6; + \infty )$.
D
$( - \infty ;{\log _3}6)$.

Question 5

Câu 5:

Cho khối chóp có diện tích đáy $B = 6{a^2}$và có chiều cao $h = a$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A
$3{a^3}$.
B
${a^3}$.
C
$6{a^3}$.
D
$2{a^3}$.

Question 6

Câu 6:

Thể tích khối lập phương cạnh $2a$ bằng

A
$8{a^3}$.
B
$64{a^3}$.
C
$16{a^3}$.
D
$32{a^3}$.

Question 7

Câu 7:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {4\,;\, – 1\,;\,3} \right)$, $B\left( {2\,;\,1\,;\,1} \right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB} $ là

A
$\left( { - 2\,;\,2\,;\, - 2} \right)$.
B
$\left( { - 1\,;\,1\,;\, - 1} \right)$.
C
$\left( {2\,;\, - 2\,;\,2} \right)$.
D
$\left( {1\,;\, - 1\,;\,1} \right)$.

Question 8

Câu 8:

Nếu $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = 3} $ thì $\int\limits_0^3 {2f\left( x \right)dx} $ bằng

A
5.
B
9.
C
8.
D
6.

Question 9

Câu 9:

Trên $\mathbb{R}$, đạo hàm của hàm số $y = {3^x}$ là

A
$y' = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}$.
B
$y' = {3^x}$.
C
$y' = \left( {x - 1} \right){3^x}$.
D
$y' = {3^x}\ln 3$.

Question 10

Câu 10:

Cho hàm số $f\left( x \right) = \cos x + 1$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A
$\int {f\left( x \right){\text{d}}x = - \sin x + C} $.
B
$\int {f\left( x \right){\text{d}}x = \sin x + C} $.
C
$\int {f\left( x \right){\text{d}}x = \sin x + x + C} $.
D
$\int {f\left( x \right){\text{d}}x = - \sin x + x + C} $.

Question 11

Câu 11:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3$ và ${u_2} = 12$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A
$4$.
B
$9$.
C
$\frac{1}{4}$.
D
$2$.

Question 12

Câu 12:

Cho khối nón có bán kính đáy $r = 4$ và chiều cao $h = 3$. Thể tích của khốỉ nón đó bằng

A
$16\pi $.
B
$36\pi $.
C
$48\pi $.
D
$12\pi $.

Question 13

Câu 13:

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A
$\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = 3{x^3} + C$.
B
$\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = {x^3} + C$.
C
$\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = 2x + C$.
D
$\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} + C$.

Question 14

Câu 14:

Cho số phức $z = – 2 + 3i$, điểm biểu diễn hình học của số phức $z$ có tọa độ là

A
$\left( { - 2;3} \right)$.
B
$\left( {2; - 3} \right)$.
C
$\left( {2;3} \right)$.
D
$\left( { - 2; - 3} \right)$.

Question 15

Câu 15:

Cho $a > 0$, khi đó $\sqrt[4]{a}$ bằng

A
${a^{\frac{1}{4}}}$.
B
${a^{ - 4}}$.
C
${a^4}$.
D
$\frac{1}{{{a^4}}}$.

Question 16

Câu 16:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

A
5.
B
3.
C
2.
D
4.

Question 17

Câu 17:

Diện tích $S$của mặt cầu bán kính $R$được tính theo công thức nào dưới đây?

A
$S = \frac{4}{3}\pi {R^2}.$$$
B
$S = 4\pi {R^2}.$
C
$S = \pi {R^2}.$
D
$S = 16\pi {R^2}.$

Question 18

Câu 18:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

A
$\left( { - 1\,;\,2} \right)$.
B
$\left( { - \infty \,;\, - 2} \right)$.
C
$\left( { - 2\,;\,1} \right)$.
D
$\left( {1\,;\, + \infty } \right)$.

Question 19

Câu 19:

Cho hai số phức $z = 2 – 3i$ và $w = 1 – 4i$. Số phức $z + w$ bằng

A
$3 - 7i$.
B
$1 - i$.
C
$3 + 7i$.
D
$1 + i$.

Question 20

Câu 20:

Phương trình ${\log _2}\left( {x + 3} \right) = 3$ có nghiệm là

A
$x = 5$.
B
$x = 3$.
C
$x = 11$.
D
$x = 6$.

Question 21

Câu 21:

Với $n$ là số nguyên dương bất kì $n \geqslant 3$, công thức nào dưới đây đúng?

A
$C_n^3 = \frac{{3!}}{{\left( {n - 3} \right)!}}$.
B
$C_n^3 = \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}}$.
C
$C_n^3 = \frac{{n!}}{{3!}}$.
D
$C_n^3 = \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}}$.

Question 22

Câu 22:

Đồ thị của hàm số $y = – {x^4} – 3{x^2} + 5$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A
$0$.
B
$2$.
C
$1$.
D
$5$.

Question 23

Câu 23:

Tập xác định của hàm số $y = {\log _2}\left( {x – 1} \right)$ là

A
$\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
B
$\left[ {1; + \infty } \right)$.
C
$\left( { - \infty ;1} \right)$.
D
$\left( {1; + \infty } \right)$.

Question 24

Câu 24:

Trong các số phức sau, số phức nào là số thuần ảo?

A
$2$.
B
$ - 3i$.
C
$ - 5$.
D
$ - 1 - i$.

Question 25

Câu 25:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {2;2;1} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {5;2; – 3} \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$là

A
$2x + 2y + z - 17 = 0$.
B
$5x + 2y - 3z - 11 = 0$.
C
$2x + 2y + z - 11 = 0$.
D
$5x + 2y - 3z - 17 = 0$.

Question 26

Câu 26:

Với mọi $a$, $b$, $x$ là các số thực dương thỏa mãn ${\log _3}x = 2{\log _3}a + 3{\log _3}b$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A
$x = 3a + 2b$.
B
$x = {a^2} + {b^3}$.
C
$x = 2a + 3b$.
D
$x = {a^2}{b^3}$.

Question 27

Câu 27:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Góc giữa hai đường thẳng $A'D$ và $B'C'$ bằng

A
${45^0}$.
B
${30^0}$.
C
${90^0}$.
D
$60^0}$.

Question 28

Câu 28:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = a\sqrt 2 $ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ bằng

A
$a$.
B
$3\sqrt 2 a$.
C
$3a$.
D
$\frac{3}{2}a$.

Question 29

Câu 29:

Cho khối trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông diện tích bằng $36$. Thể tích khối trụ đó bằng

A
$18\pi $.
B
$48\pi $.
C
$27\pi $.
D
$54\pi $.

Question 30

Câu 30:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

A
$y = {x^3} - 3x + 1$.
B
$y = 2{x^4} - 4{x^2} + 1$.
C
$y = {x^3} + 3x - 1$.
D
$y = - 2{x^4} + 4{x^2} + 1$.

Question 31

Câu 31:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {x^3} + 3x$ trên đoạn $\left[ { – 1\,;\,1} \right]$.

A
$m = - 2$.
B
$m = 4$.
C
$m = 0$.
D
$m = - 4$.

Question 32

Câu 32:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0\,;\,3\,;\,2} \right)$ và $B\left( {2\,;\,1\,; – 4} \right)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ có phương trình là

A
$x - y - 3z - 2 = 0$.
B
$2x + y + z - 1 = 0$.
C
$x - y - 3z + 9 = 0$
D
$x - y - 3x + 2 = 0$.

Question 33

Câu 33:

Một tổ có $5$ bạn nam và $7$ bạn nữ, chọn một nhóm $3$ bạn để tham gia biểu diễn văn nghệ. Xác suất để chọn được $3$ bạn nữ bằng

A
$\frac{5}{{44}}$.
B
$\frac{{21}}{{220}}$.
C
$\frac{7}{{44}}$.
D
$\frac{1}{{22}}$.

Question 34

Câu 34:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có bảng biến thiên như hình bên. Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

Phương trình $2f\left( x \right) + 5 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A
$2$.
B
$3$.
C
$0$.
D
$4$.

Question 35

Câu 35:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ là đường thẳng có phương trình:

A
$y = \frac{1}{2}$.
B
$y = 1$.
C
$y = 2$.
D
$y = - 1$.

Question 36

Câu 36:

Cho bất phương trình $\log \left( {2{x^2} + 3} \right) \geqslant \log \left( {{x^2} + mx + 1} \right)$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$?

A
$3$.
B
$5$.
C
$4$.
D
Vô số.

Question 37

Câu 37:

Cắt hình nón $(N)$ bởi mặt phẳng đi qua đỉnh $S$ và tạo với trục của $(N)$ một góc bằng ${30^0}$, ta được thiết diện là tam giác $SAB$ vuông và có diện tích bằng $4{a^2}$. Chiều cao của hình nón bằng

A
$a\sqrt 2 $.
B
$a\sqrt 3 $.
C
$2a\sqrt 3 $.
D
$2a\sqrt 2 $.

Question 38

Câu 38:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(4) = 2$, $\int\limits_0^4 f (x){\text{d}}x = 4$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 x \cdot f'\left( {2x} \right){\text{d}}x.$

A
$I = 4$.
B
$I = 17$.
C
$I = 12$.
D
$I = 1$.

Question 39

Câu 39:

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( {2;1; – 1} \right)$; $B\left( { – 1;0;1} \right)$; $C\left( {2;2;3} \right)$. Đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác $ABC$ và vuông góc với $\left( {ABC} \right)$ có phương trình là:

A
$\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}$.
B
$\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{1}$.
C
$\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z - 1}}{1}$.
D
$\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{1}$.

Question 40

Câu 40:

Cho $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\sin ^2}x$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0$. Giá trị của biểu thức $S = F\left( { – \pi } \right) + 2F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ bằng

A
$S = \frac{3}{4} - \frac{{3\pi }}{8}$.
B
$S = \frac{1}{4} + \frac{{3\pi }}{8}$.
C
$S = \frac{3}{2} - \frac{{3\pi }}{8}$.
D
$S = \frac{3}{4} - \frac{\pi }{4}$.

Question 41

Câu 41:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ để phương trình $f\left( {1 – 2\sin x} \right) = m$ có đúng hai nghiệm trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$? Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

A
$ - 2$.
B
$ - 3$.
C
$0$.
D
$ - 6$.

Đặt $t = 1 – 2\sin x$; $t' = – 2\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2}$.Lập bảng biến thiên Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán tương đương$ – 3 \leqslant m < 1 \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0} \right\} \Rightarrow \sum m = - 6$.

Question 42

Câu 42:

Trong không gian $Oxyz$, cho ba đường thẳng $d:\frac{{x – 5}}{1} = \frac{{y + 7}}{2} = \frac{{z – 3}}{3}$, ${d_1}:\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ – 2}}$ và ${d_2}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y – 3}}{{ – 3}} = \frac{z}{2}$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng song song với $d$ đồng thời cắt cả hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$. Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm nào sau đây?

A
$\left( {4;10;17} \right)$.
B
$\left( {4;1; - 7} \right)$.
C
$\left( {3; - 12;10} \right)$.
D
$\left( {1; - 6;6} \right)$.

Lấy $A\left( {2{t_1}; – 1 + {t_1}; – 3 – 2{t_1}} \right) \in {d_1}$ và $B\left( { – 2 + {t_2};3 – 3{t_2};2{t_2}} \right) \in {d_2}$.Ta chọn $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {AB} = \left( {{t_2} – 2{t_1} – 2; – 3{t_2} – {t_1} + 4;2{t_2} + 2{t_1} + 3} \right)$.Vì $\Delta $ song song với $d$ nên$\begin{gathered} \frac{{{t_2} – 2{t_1} – 2}}{1} = \frac{{ – 3{t_2} – {t_1} + 4}}{2} = \frac{{2{t_2} + 2{t_1} + 3}}{3} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {t_1} = – 1 \hfill \\ {t_2} = 1. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $Suy ra $A\left( { – 2; – 2; – 1} \right)$ và $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;2;3} \right)$.Phương trình đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{gathered} x = – 2 + t \hfill \\ y = – 2 + 2t \hfill \\ z = – 1 + 3t \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Chọn $t = 6 \Rightarrow M\left( {4;10;17} \right)$.

Question 43

Câu 43:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ bằng $\alpha $ với $\cos \alpha = \frac{9}{{16}}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng:

A
$\frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{9}$.
B
$\frac{{{a^3}\sqrt {57} }}{9}$.
C
$\frac{{{a^3}\sqrt {57} }}{3}$.
D
$\frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{3}$.

Dựng $BH \bot SC$$ \Rightarrow SC \bot \left( {BHD} \right) \Rightarrow SC \bot DH$$ \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \left( {BH,DH} \right)$TH1: $\cos \widehat {BHD} = – \frac{9}{{16}}$Ta có: $BD = AC\sqrt 2 = a\sqrt 2 $ $B{D^2} = B{H^2} + D{H^2} – 2BH \cdot DH \cdot \cos \widehat {BHD}$Mà $BH = DH\left( {\Delta SBC = \Delta SDC} \right)$Nên $B{D^2} = B{H^2} + B{H^2} – 2BH \cdot BH \cdot \frac{{ – 9}}{{16}} = \frac{{25}}{8}B{H^2}$ $ \Rightarrow B{H^2} = \frac{8}{{25}}2{a^2} \Leftrightarrow BH = \frac{4}{5}a$ $\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{S{B^2}}} = \frac{1}{{B{H^2}}} – \frac{1}{{B{C^2}}} \Leftrightarrow SB = \frac{{BH \cdot BC}}{{\sqrt {B{C^2} – B{H^2}} }} = \frac{4}{3}a$ $SA = \sqrt {S{B^2} – A{B^2}} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}a$$ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt 7 }}{3}a \cdot a \cdot a = \frac{{\sqrt 7 }}{9}{a^3}$TH2: $\cos \widehat {BHD} = \frac{9}{{16}}$Ta có: $B{D^2} = B{H^2} + D{H^2} – 2BH \cdot DH \cdot \cos \widehat {BHD} = B{H^2} + B{H^2} – 2BH \cdot BH \cdot \frac{9}{{16}} = \frac{7}{8}B{H^2}$ $ \Rightarrow B{H^2} = \frac{8}{7}2{a^2} \Leftrightarrow BH = \frac{{4\sqrt 7 }}{7}a > BC$(vô lý)

Question 44

Câu 44:

Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$$\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

A
$a > 0;b < 0;c > 0$.
B
$a < 0;b < 0;c > 0$.
C
$a < 0;b > 0;c > 0$.
D
$a < 0;b < 0;c < 0$.

Ta có: Nhánh ngoài cùng bên phải của đồ thị đi xuống $ \Rightarrow a < 0$ Tại $x = 0$ đồ thị đang đi xuống $ \Rightarrow y'\left( 0 \right) < 0 \Rightarrow c < 0$ Điểm uốn của đồ thị có hoành độ âm $ \Rightarrow \frac{{ - b}}{{3a}} < 0 \Leftrightarrow \frac{b}{{3a}} > 0$ mà $a < 0$ nên $b < 0$

Question 45

Câu 45:

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| = 5$ và $\left| {z + 2} \right| = \left| {z + 2 – 10i} \right|$. Môđun của $z – 1 – 3i$ bằng

A
$\sqrt {17} $.
B
$\sqrt {53} $.
C
$\sqrt {10} $.
D
$\sqrt 5 $.

Đặt $z = x + yi$, $x,y \in \mathbb{R}$, từ giả thiết ta có hệ$\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} = 25 \hfill \\ {(x + 2)^2} + {y^2} = {(x + 2)^2} + {(y – 10)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} = 25 \hfill \\ y = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ y = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$Vậy $z = 5i$, suy ra $z – 1 – 3i = – 1 + 2i$, do đó $\left| {z – 1 – 3i} \right| = \sqrt 5 $.

Question 46

Câu 46:

Cho hàm số $f(x) = a{x^4} – {x^3} + 2x + 2$ và hàm số $g(x) = b{x^3} – c{x^2} + 2$, có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi ${S_1};{S_2}$ là diện tích các hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ, biết ${S_1} = \frac{{221}}{{640}}$. Khi đó ${S_2}$ bằng: Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

A
$\frac{{271}}{{320}}$.
B
$\frac{{1361}}{{640}}$.
C
$\frac{{571}}{{640}}$.
D
$\frac{{791}}{{640}}$.

Từ đồ thị ta thấy hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $g(x)$ với trục hoành chính là điểm cực trị của hàm số $f(x)$. Do đó: $f'(x) = k.g(x)$. Hay: $4a{x^3} – 3{x^2} + 2 = k\left( {b{x^3} – c{x^2} + 2} \right)$Suy ra: $\left\{ \begin{gathered} k = 1 \hfill \\ b = 3a \hfill \\ c = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Hay: $g(x) = 4a{x^3} – 3{x^2} + 2$, suy ra: $f(x) – g(x) = a{x^4} – {x^3} + 2x + 2 – 4a{x^3} + 3{x^2} – 2 = a{x^4} – \left( {1 + 4a} \right){x^3} + 3{x^2} + 2x$Khi đó: ${S_1} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {f(x) – g(x)} \right)dx} $$ = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {a{x^4} – \left( {1 + 4a} \right){x^3} + 3{x^2} + 2x} \right)dx} = \frac{{221}}{{640}} \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}$Vậy ${S_2} = \int\limits_{\frac{3}{2}}^2 {\left( {\frac{1}{4}{x^4} – {x^3} + 2x + 2} \right)} \,dx = \frac{{791}}{{640}}.$

Question 47

Câu 47:

Có bao nhiêu cặp số $\left( {x;y} \right)$ (trong đó $x,y$ nguyên dương thuộc đoạn $[0;2023]$) thỏa mãn điều kiện ${2^x} – {\log _2}\left( {{y^2} + 615} \right) = {y^2} – x + 615$.

A
$1$.
B
$3$.
C
$4$.
D
$2$.

Ta có ${2^x} – {\log _2}\left( {{y^2} + 615} \right) = {y^2} – x + 615$$ \Leftrightarrow x + {2^x} = {\log _2}\left( {{y^2} + 615} \right) + \left( {{y^2} + 615} \right)$$ \Leftrightarrow x = {\log _2}\left( {{y^2} + 615} \right)$$ \Leftrightarrow {2^x} = {y^2} + 615$
Vì $y \in [0;2023]$ nên ${y^2} + 615 \in [615;{2023^2} + 615] \Rightarrow {2^x} \in [615;{2023^2} + 615]$.$\begin{gathered} \Rightarrow 615 \leqslant {2^x} \leqslant {2023^2} + 615 \Rightarrow 9,28 \leqslant x \leqslant 21,9 \hfill \\ \Rightarrow x \in [10;21] \hfill \\ \end{gathered} $
Bảng giá trị tương ứng: Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

Vậy ta có một cặp duy nhất thoả mãn bài toán là $x = 12$ và $y = 59$.

Question 48

Câu 48:

Cho hàm số $y = f(x)$ là hàm số đa thức bậc bốn và có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số $g(x) = {2^{ – \frac{1}{{{x^4}}}}}{\left[ {f\left( {2x + 1} \right)} \right]^3}.$ Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

A
$7$.
B
$5$.
C
$4$.
D
$6$.

Ta có: $g(x) = {2^{ – \frac{1}{{{x^4}}}}}{\left[ {f\left( {2x + 1} \right)} \right]^3}.$$ \Rightarrow g'(x) = {2^{ – \frac{1}{{{x^4}}}}}\frac{{4\ln 2}}{{{x^5}}}{\left[ {f\left( {2x + 1} \right)} \right]^3} + {2^{ – \frac{1}{{{x^4}}}}}.3.2f'\left( {2x + 1} \right){\left[ {f\left( {2x + 1} \right)} \right]^2}$$ \Leftrightarrow g'(x) = {2.2^{\frac{{ – 1}}{{{x^4}}}}}{\left[ {f\left( {2x + 1} \right)} \right]^2}\left( {\frac{{2\ln 2}}{{{x^5}}}f\left( {2x + 1} \right) + 3f'\left( {2x + 1} \right)} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {f^2}\left( {2x + 1} \right) = 0{\mkern 1mu} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{2\ln 2}}{{{x^5}}}f\left( {2x + 1} \right) + 3f'\left( {2x + 1} \right) = 0}&{\left( * \right)} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$Do các nghiệm của phương trình ${f^2}\left( {2x + 1} \right) = 0{\mkern 1mu} $ là các nghiệm bội chẵn nên số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $\left( * \right)$.Xét phương trình $\frac{{2\ln 2}}{{{x^5}}}f\left( {2x + 1} \right) + 3f'\left( {2x + 1} \right) = 0$.Đặt $t = 2x + 1$ ta được $\frac{{{2^6}.\ln 2}}{{{{\left( {t – 1} \right)}^5}}}f(t) + 3f'(t) = 0$.Từ bảng biến thiên ta thấy được phương trình $f\left( t \right) = 0$ có 4 nghiệm ${t_1}$,${t_2}$,${t_3}$,${t_4}$.$ \Rightarrow f\left( t \right) = a\left( {t – {t_1}} \right)\left( {t – {t_2}} \right)\left( {t – {t_3}} \right)\left( {t – {t_4}} \right)$$ \Rightarrow f'\left( t \right) = a\left[ {\left( {t – {t_2}} \right)\left( {t – {t_3}} \right)\left( {t – {t_4}} \right) + \left( {t – {t_1}} \right)\left( {t – {t_3}} \right)\left( {t – {t_4}} \right) + \left( {t – {t_1}} \right)\left( {t – {t_2}} \right)\left( {t – {t_4}} \right) + \left( {t – {t_1}} \right)\left( {t – {t_2}} \right)\left( {t – {t_3}} \right)} \right]$Do 4 nghiệm ${t_1}$,${t_2}$,${t_3}$,${t_4}$ không là nghiệm của phương trình $\left( * \right)$ nên:$\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{2^6}.\ln 2}}{{{{\left( {t – 1} \right)}^5}}}f(t) + 3f'(t) = 0 \Rightarrow \frac{{{2^6}.\ln 2}}{{{{\left( {t – 1} \right)}^5}}} + 3\frac{{f'(t)}}{{f(t)}} = 0}&{\left( {**} \right)} \end{array}$Thay $f\left( t \right)$ và $f'\left( t \right)$ vào $\left( {**} \right)$ ta có:$\frac{{{2^6}\ln 2}}{{{{\left( {t – 1} \right)}^5}}} + \frac{3}{{t – {t_1}}} + \frac{3}{{t – {t_2}}} + \frac{3}{{t – {t_3}}} + \frac{3}{{t – {t_4}}} = 0$Xét hàm số $h\left( t \right) = \frac{{{2^6}\ln 2}}{{{{\left( {t – 1} \right)}^5}}} + \frac{3}{{t – {t_1}}} + \frac{3}{{t – {t_2}}} + \frac{3}{{t – {t_3}}} + \frac{3}{{t – {t_4}}}$ với $t \ne 1,t \ne {t_i}\left( {i = \overline {1,4} } \right)$.$ \Rightarrow h'\left( t \right) = \frac{{ – {2^6}.5.\ln 2}}{{{{\left( {t – 1} \right)}^6}}} + \frac{{ – 3}}{{{{\left( {t – {t_1}} \right)}^2}}} + \frac{{ – 3}}{{{{\left( {t – {t_2}} \right)}^2}}} + \frac{{ – 3}}{{{{\left( {t – {t_3}} \right)}^2}}} + \frac{{ – 3}}{{{{\left( {t – {t_4}} \right)}^2}}} < 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\forall ^{}}t \ne 1,t \ne {t_i}\left( {i = \overline {1,4} } \right)$.Ta có bảng biến thiên của $h\left( t \right)$: Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình $h\left( t \right) = 0$ luôn có 4 nghiệm đơn phân biệt do đó hàm số $g(x)$ có 4 điểm cực trị.

Question 49

Câu 49:

Cho số phức $z = x + yi,\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ thoả mãn $\left| {z + \bar z – 2} \right| + 3\left| {z – \bar z + 4i} \right| \leqslant 6$ và $\left| {z – 1 – i} \right| \leqslant \left| {z + 3 + i} \right|$. Gọi $M,m$ là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = 2x + 3y + 5$. Khi đó $M + m$ bằng

A
$\frac{{33}}{5}$.
B
$\frac{{17}}{5}$.
C
$ - \frac{{13}}{5}$,
D
$\frac{{22}}{5}$.

Gọi $z = x + yi\,;\quad x;y \in \mathbb{R}.$Xét $\left| {z + \bar z – 2} \right| + 3\left| {z – \bar z + 4i} \right| \leqslant 6 \Leftrightarrow \left| {x – 1} \right| + \left| {3y + 6} \right| \leqslant 3.\quad \quad (1)$Tập hợp những điểm biểu diễn $z = x + yi\,;\quad x;y \in \mathbb{R}.$ thỏa mãn (1) là miền trong (tính cả biên) của hình thoi $ABCD$ với $A\left( { – 2; – 2} \right)$; $B\left( {1; – 1} \right)$; $C\left( {4; – 2} \right)$; $D\left( {1; – 3} \right)$ tạo bởi 4 đường thẳng $\left| {x – 1} \right| + \left| {3y + 6} \right| \leqslant 3.$ Ta có: $\left| {z – 1 – i} \right| \leqslant \left| {z + 3 + i} \right| \Leftrightarrow 2x + y + 2 \geqslant 0$Tập hợp những điểm biểu diễn $z$ thỏa mãn (2) là nữa mặt phẳng chứa điểm $O$( kể cả bờ đường thẳng $2x + y + 2 = 0$). Suy ra tập hợp những điểm biểu diễn $z = x + yi\,;\quad x;y \in \mathbb{R}.$ thỏa mãn (1) và $\left( 2 \right)$ là miền trong (tính cả biên) của ngũ giác $EBCDF$ với $E\left( {\frac{{ – 2}}{7};\frac{{ – 10}}{7}} \right)$; $B\left( {1; – 1} \right)$; $C\left( {4; – 2} \right)$; $D\left( {1; – 3} \right)$; $F\left( {\frac{2}{5};\frac{{ – 14}}{5}} \right)$ Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

Biểu thức $P = 2x + 3y + 5$ sẽ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên miền trong (tính cả biên) của ngũ giác $EBCDF$ khi $\left( {x;y} \right)$ là toạ độ của một trong các đỉnh $E\left( {\frac{{ – 2}}{7};\frac{{ – 10}}{7}} \right)$; $B\left( {1; – 1} \right)$; $C\left( {4; – 2} \right)$; $D\left( {1; – 3} \right)$; $F\left( {\frac{2}{5};\frac{{ – 14}}{5}} \right)$.Ta có: Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

Suy ra $M = 7;\,m = – \frac{{13}}{5} \Rightarrow M + m = \frac{{22}}{5}$.

Question 50

Câu 50:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2; – 3; – 5),I(2;0; – 1)$ và mặt phẳng$(P):2x – y – 2z + 5 = 0$. Điểm $M(a;b;c)$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $IM = 5$ và độ dài đoạn $AM$ lớn nhất. Khi đó giá trị của biển thức $T = a + b + 2c$ bằng

A
6.
B
$ - \frac{1}{3}$.
C
$ - 1$.
D
11.

$IH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 2 + 5} \right|}}{3} = \frac{{11}}{3}$.Gọi $H$là hình chiếu vuông góc của $I$xuống mặt phẳng $(P) \Rightarrow H\left( {\frac{{ – 4}}{9};\frac{{11}}{9};\frac{{13}}{9}} \right)$.Gọi $K$là hình chiếu vuông góc của $A$xuống mặt phẳng $(P) \Rightarrow K\left( {\frac{{ – 26}}{9};\frac{{ – 5}}{9};\frac{{ – 1}}{9}} \right)$.Do Điểm $M$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(P)$ và $IM = 5$nên $M$ nằm trên đường tròn tâm $H$, bán kính $HM = \sqrt {I{M^2} – I{H^2}} = \sqrt {{5^2} – {{\left( {\frac{{11}}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt {26} }}{3}$.$\overrightarrow {HK} = \left( {\frac{{ – 22}}{9};\frac{{ – 16}}{9}; – \frac{{14}}{9}} \right) \Rightarrow HK = \frac{{2\sqrt {26} }}{3} \Rightarrow K \in \left( {H,HK} \right)$. Do đó để $AM$lớn nhất thì $KM$ lớn nhất khí và chỉ khi $M$ là điểm đối xứng với $K$ qua $H$. Khi đó tọa độ điểm $M(2;3;3) \Rightarrow a = 2,b = 3,c = 3 \Rightarrow a + b + 2c = 11$.

Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

Chuyên Mục Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập - Sự Lựa Chọn Phù Hợp

Đề Kiểm Tra: Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

Giải thích & Đáp án chi tiết

Giá Trị Đích Thực Của Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Cách Tận Dụng Tối Đa Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Đặc Điểm Nổi Bật Của Nền Tảng

Lưu Ý Quan Trọng Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Giải Đáp Thắc Mắc: Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Tổng Kết Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập