Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Phú Thọ

a) Tập xác định của hàm số là \(D = (0; + \infty )\).

b) \(f(1) = - \frac{1}{2}\); \(f(e) = - \frac{e}{2}\).

c) Nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\) trên đoạn [1;e] là x = 2.

d) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [1;e] bằng \( - \frac{1}{2}\).

a) \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln x + C\).

b) Hàm số f(x) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}}\).

c) Biết \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f(x)dx} = \frac{m}{n} + m\ln n\), với \(m,n \in {\mathbb{N}^*}\), \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Tổng m + 2025n = 4057.

d) Gọi G(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn G(1) = 4 và G(3) + G(-9) = 20. Khi đó \(G( - 6) = a\ln 2 + b\ln 3 + c\), với a, b, c là các số hữu tỉ. Tổng \(a + b + c = \frac{2}{3}\).

a) Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là \(A_{12}^6\).

b) Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là \(C_7^6 + C_8^6 + C_9^6\).

c) Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là \(A_{12}^6 - \left( {C_7^6 + C_8^6 + C_9^6} \right)\).

d) Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là \(\frac{{115}}{{132}}\).

a) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng 25 km.

b) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí A.

c) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí B.

d) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra di chuyển đến vị trí C cách O 15 km về phía nam. Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách O tối đa \(15\sqrt 3 \) km.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).

\({u_5} = 3 + (5 - 1).2 = 11\).

Với 0 < a < 1, ta có \({\log _a}x > b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x < {a^b}\end{array} \right.\).

ĐKXĐ: \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\).

\({\log _{\frac{1}{2}}}(x + 1) > - 1 \Leftrightarrow x + 1 < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow x + 1 < 2 \Leftrightarrow x < 1\).

Kết hợp ĐK, ta được –1 < x < 1.

\({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

\({3^x} = 12 \Leftrightarrow x = {\log _3}12\).

Áp dụng định nghĩa của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Các tam giác vuông là SAB, SAC, SBC và ABC.

Dựa vào tọa độ các điểm mà đường tiệm cận đi qua, giải hệ phương trình tìm ra các hệ số.

Phương trình đường tiệm cận xiên có dạng y = ax + b \((a \ne 0)\).

Đường tiệm cận xiên đi qua hai điểm có tọa độ (0;0) và (-1;-1) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.0 + b\\ - 1 = a.( - 1) + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow y = x\).

Vậy phương trình đường tiệm cận xiên là y = x.

Hàm số nghịch biến trên khoảng đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Trên khoảng (0;2), đồ thị đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên (0;2).

\(\overrightarrow a = m\overrightarrow i + n\overrightarrow j + p\overrightarrow k = (m;n;p)\).

\(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 4\overrightarrow k = (2; - 3;4)\).

\(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})\).

\(\overrightarrow {AB} = (3 + 2; - 2 - 1;1 - 0) = (5; - 3;1)\).

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).

\(\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int {{x^{ - 3}}dx} = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).

Áp dụng tính chất của tích phân \(\int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} \); \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = - \int\limits_b^a {f(x)dx} \).

\(\int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} \Leftrightarrow 3 + \int\limits_b^c {f(x)dx} = 8 \Leftrightarrow \int\limits_b^c {f(x)dx} = 5 \Leftrightarrow \int\limits_c^b {f(x)dx} = - 5\).

Nếu a // b thì (a,c) = (b,c).

\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD'} } \right) = \left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {CD'} } \right) = {180^o} - \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CD'} } \right) = {180^o} - {45^o} = {135^o}\).

Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:

\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)

trong đó:

\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu;

\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k;

\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k;

\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).

Cỡ mẫu \(n = 100\).

Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{100}}\) là mẫu số liệu gốc về chiều cao của 100 cây keo 3 năm tuổi tại một nông trường được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1};...;{x_5} \in [8,4;8,6)\); \({x_6}; \ldots ;{x_{17}} \in [8,6;8,8)\);\({x_{18}}; \ldots ;{x_{42}} \in [8,8;9,0)\);\({x_{43}}; \ldots ;{x_{86}} \in [9,0;9,2)\);\({x_{87}}; \ldots ;{x_{100}} \in [9,2;9,4)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{25}} + {x_{26}}) \in [8,8;9,0)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 8,8 + \frac{{\frac{{100}}{4} - (5 + 12)}}{{25}}(9,0 - 8,8) = 8,864\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{75}} + {x_{76}}) \in [9,0;9,2)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 9,0 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (5 + 12 + 25)}}{{44}}(9,2 - 9,0) = 9,15\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 0,286\).

a) Tập xác định của hàm số là \(D = (0; + \infty )\).

b) \(f(1) = - \frac{1}{2}\); \(f(e) = - \frac{e}{2}\).

c) Nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\) trên đoạn [1;e] là x = 2.

d) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [1;e] bằng \( - \frac{1}{2}\).

a) Hàm \(y = \ln x\) có ĐKXĐ là x > 0.

b) Thay x = 1, x = e vào hàm số rồi tính giá trị.

c) Tính f’(x) rồi giải phương trình f’(x) = 0. Xét xem nghiệm đó có thuộc [1;e] hay không.

d) Tính giá trị của f(x) tại các điểm x = 1, x = e và nghiệm của f’(x) = 0.

a) Đúng. ĐKXĐ: x > 0. Vậy tập xác định là \(D = (0; + \infty )\).

b) Sai. \(f(1) = \ln 1 - \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}\); \(f(e) = \ln e - \frac{e}{2} = 1 - \frac{e}{2}\).

c) Đúng. \(f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = 2\). Mà

\(2 \in [1;e]\) nên x = 2 là nghiệm của f’(x) = 0 trên [1;e].

d) Sai. \(f(1) = - \frac{1}{2}\); \(f(e) = 1 - \frac{e}{2}\); \(f(2) = \ln 2 - \frac{2}{2} = \ln 2 - 1\).

Vậy giá trị lớn nhất của f(x) trên [1;e] bằng \(\ln 2 - 1\) khi x = 2.

a) \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln x + C\).

b) Hàm số f(x) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}}\).

c) Biết \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f(x)dx} = \frac{m}{n} + m\ln n\), với \(m,n \in {\mathbb{N}^*}\), \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Tổng m + 2025n = 4057.

d) Gọi G(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn G(1) = 4 và G(3) + G(-9) = 20. Khi đó \(G( - 6) = a\ln 2 + b\ln 3 + c\), với a, b, c là các số hữu tỉ. Tổng \(a + b + c = \frac{2}{3}\).

Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm, nguyên hàm, tích phân cơ bản.

a) Sai. \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}dx} = \int {\left( {x + 5 - \frac{7}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C\).

b) Đúng. \(f'(x) = \frac{{\left( {{x^2} + 5x - 7} \right)'x - \left( {{x^2} + 5x - 7} \right)x'}}{{{x^2}}}\)

\( = \frac{{\left( {2x + 5} \right)x - \left( {{x^2} + 5x - 7} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} + 5x - {x^2} - 5x + 7}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}} = g(x)\).

Vì f’(x) = g(x) nên f(x) là một nguyên hàm của g(x).

c) Đúng. \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f(x)dx} = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{ - 1}}\\{_{ - 2}}\end{array}} \right.\)

\( = \left[ {\frac{{{{( - 1)}^2}}}{2} + 5( - 1) - 7\ln \left| { - 1} \right|} \right] - \left[ {\frac{{{{( - 2)}^2}}}{2} + 5( - 2) - 7\ln \left| { - 2} \right|} \right] = - \frac{9}{2} - \left( { - 8 - 7\ln 2} \right) = \frac{7}{2} + 7\ln 2\).

Vậy \(m + 2025n = 7 + 2025.2 = 4057\).

d) Sai. \(G(x) = \int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C\).

\(G( - 6) - G( - 9) = - \frac{{15}}{2} - 7\ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{ - 6}}\\{_{ - 9}}\end{array}} \right. = - \frac{{15}}{2} - 7\ln \frac{2}{3}\); \(G(3) - G(1) = 14 - 7\ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_1}\end{array}} \right. = 14 - 7\ln 3\).

Ta có \(\left[ {G( - 6) - G( - 9)} \right] - \left[ {G(3) - G(1)} \right] = \left( { - \frac{{15}}{2} - 7\ln \frac{2}{3}} \right) - \left( {14 - 7\ln 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow G( - 6) - \left[ {G( - 3) + G( - 9)} \right] + G(1) = - \frac{{43}}{2} - 7\left( {\ln 2 - \ln 3} \right) + 7\ln 3\)

\( \Leftrightarrow G( - 6) - 20 + 4 = - \frac{{43}}{2} - 7\ln 2 + 7\ln 3 + 7\ln 3\)

\( \Leftrightarrow G( - 6) = - 7\ln 2 + 14\ln 3 - \frac{{11}}{2}\).

Vậy \(a + b + c = - 7 + 14 - \frac{{11}}{2} = \frac{3}{2}\).

a) Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là \(A_{12}^6\).

b) Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là \(C_7^6 + C_8^6 + C_9^6\).

c) Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là \(A_{12}^6 - \left( {C_7^6 + C_8^6 + C_9^6} \right)\).

d) Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là \(\frac{{115}}{{132}}\).

Chia trường hợp cụ thể rồi áp dụng công thức chỉnh hợp, tổ hợp, công thức xác suất cổ điển.

a) Đúng. Thầy giáo cần chọn ra 6 cuốn sách trong tổng số 12 cuốn, mỗi cuốn đều khác nhau để tặng cho mỗi học sinh nên số cách là \(A_{12}^6\).

b) Đúng. Ta có các trường hợp sau:

TH1: Không lấy ra sách Toán.

Số cách lấy ra 6 cuốn trong 7 cuốn còn lại là \(C_7^6\).

TH2: Không lấy ra sách Vật lí.

Số cách lấy ra 6 cuốn trong 8 cuốn còn lại là \(C_8^6\).

TH3: Không lấy ra sách Hóa học.

Số cách lấy ra 6 cuốn trong 9 cuốn còn lại là \(C_9^6\).

Vậy tổng số cách 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách là \(C_7^6 + C_8^6 + C_9^6\).

c)Sai. Tổng số cách lấy ngẫu nhiên 6 trong 12 cuốn sách là \(C_{12}^6\).

Ta xét các trường hợp lấy ra 6 cuốn và có loại sách bị hết.

TH1: Lấy được tất cả số sách Toán.

Số cách lấy ra 5 cuốn sách Toán và 1 trong 7 cuốn còn lại là \(C_5^5.C_7^1 = C_7^1\).

TH2: Lấy được tất cả số sách Vật lí.

Số cách lấy ra 4 cuốn sách Vật lí và 2 trong 8 cuốn còn lại là \(C_4^4.C_8^2 = C_8^2\).

TH3: Lấy được tất cả số sách Hóa học.

Số cách lấy ra 3 cuốn sách Hóa học và 3 trong 9 cuốn còn lại là \(C_3^3.C_9^3 = C_9^3\).

Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất 1 cuốn là \(C_{12}^6 - \left( {C_7^1 + C_8^2 + C_9^3} \right)\).

d) Đúng. Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất 1 cuốn là:

\(\frac{{C_{12}^6 - \left( {C_7^1 + C_8^2 + C_9^3} \right)}}{{C_{12}^6}} = \frac{{115}}{{132}}\).

a) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng 25 km.

b) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí A.

c) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí B.

d) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra di chuyển đến vị trí C cách O 15 km về phía nam. Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách O tối đa \(15\sqrt 3 \) km.

Dựa vào hệ trục, tìm tọa độ các điểm theo dữ kiện của đề bài. Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).

Từ các dữ kiện của bài toán, ta có toạ độ tàu thám hiểm là điểm A(25;-15;-10).

a) Sai. Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng \(OA = \sqrt {{{25}^2} + {{( - 15)}^2} + {{( - 10)}^2}} = 5\sqrt {38} \) (km).

b) Đúng. Ta có \(OA = 5\sqrt {38} \approx 30,8\) km, mà phạm vi theo dõi của radar là 30 km nên radar không phát hiện được tàu thám hiểm ở vị trí A.

c) Đúng. \(OB = \sqrt {{{( - 20)}^2} + {{15}^2} + {0^2}} = 25\) (km). Vì 25 < 30 nên radar phát hiện được tàu đánh cá ở vị trí B.

d) Đúng. Ta có C(15;x;0).

Để radar phát hiện được thì \(OC \le 30 \Leftrightarrow \sqrt {{{15}^2} + {x^2}} \le 30 \Leftrightarrow {15^2} + {x^2} \le 30 \Leftrightarrow x \le 15\sqrt 3 \), hay tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông tối đa \(15\sqrt 3 \) km.

Giả sử \(\left( {d,(SBC)} \right) = \alpha \). Khi đó \(\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,(SBC)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2d\left( {O,(SBC)} \right)}}{{SA}}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lí Pythagore để tính.

Giả sử \(\left( {d,(SBC)} \right) = \alpha \). Khi đó \(\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,(SBC)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2d\left( {O,(SBC)} \right)}}{{SA}}\).

Gọi I là trung điểm của BC. Khi đó \(SI \bot BC\).

Kẻ \(OH \bot SI\), H thuộc SI.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot BC\\SI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SOI) \Rightarrow BC \bot OH\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SI\\OH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SBC) \Rightarrow d\left( {O,(SBC)} \right) = OH\).

Xét tam giác SOI vuông tại O có đường cao OH:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}} = \frac{5}{4} \Rightarrow OH = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Xét tam giác SAO vuông tại O: \(SA = \sqrt {A{O^2} + S{O^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt 6 \).

Vậy \(\sin \alpha = \frac{{2d\left( {O,(SBC)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2OH}}{{SA}} = \frac{{2.\frac{{2\sqrt 5 }}{5}}}{{\sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt {30} }}{{15}} \approx 0,73\).

Liệt kê các trường hợp. Áp dụng công thức tính số hoán vị.

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abcd} \), với a, b, c, d là các chữ số từ 0 đến 9, \(a \ne 0\).

TH1: 3 trong 4 chữ số a, b, c, d bằng 0.

Khi đó a = 7.

Có 1 số thỏa mãn.

TH2: 2 trong 4 chữ số a, b, c, d bằng 0.

- Chọn vị trí cho 2 chữ số 0 có \(C_3^2 = 3\) cách.

- Cặp 2 chữ số còn lại có thể là (1;6), (2;5), (3;4) và hoán vị của chúng.

Có 3.3.2! = 18 số thỏa mãn.

TH3: 1 trong 4 chữ số a, b, c, d bằng 0.

- Chọn vị trí cho 1 chữ số 0 có \(C_3^1 = 3\) cách.

- Bộ 3 chữ số còn lại có thể là (1;1;5), (1;2;4), (1;3;3), (2;3;3) và hoán vị của chúng.

+ Bộ (1;2;4) có số hoán vị là 3! = 6.

+ 3 bộ còn lại có số hoán vị là 3.

Có 3.(1.6 + 3.3) = 45 số thỏa mãn.

TH4: Không có chữ số nào bằng 0.

Có 3 bộ số (1;1;1;4), (1;1;2;3) và (1;2;2;2) và hoán vị của chúng.

- Bộ (1;1;2;3) có số hoán vị là 4.3 = 12.

- 2 bộ còn lại có số hoán vị là 4.

Có 12 + 2.4 = 20 số thỏa mãn.

Vậy, có tất cả 1 + 18 + 45 + 20 = 84 số thỏa mãn.

Lập hàm tính lợi nhuận. Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai và đạo hàm để tìm ra giá trị t.

Ta có lợi nhuận là \(P(x) = f(x) - g(x) - xt = 2006x - {x^2} - ({x^2} + 1438x - 1209) - xt\)

\( = - 2{x^2} + 568x - xt + 1209 = - 2{x^2} + (568 - t)x + 1209\).

Đồ thị hàm số P(x) là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới (do a = -2 < 0).

Do đó, P(x) lớn nhất tại đỉnh parabol, hay \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{568 - t}}{{2( - 2)}} = \frac{{568 - t}}{4}\).

Số tiền thuế thu được khi đó là \(xt = \frac{{568 - t}}{4}t = - \frac{{{t^2}}}{4} + 142t = h(t)\). Ta cần tìm t để h(t) lớn nhất.

Có \(h'(t) = - \frac{1}{2}t + 142 = 0 \Leftrightarrow t = 284\).

Vậy giá trị t cần tìm là 284.

Sử dụng quy tắc tính tọa độ vecto, tính độ dài vecto.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc drone, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ), đơn vị đo lấy theo kilômét.

Gọi vị trí chiếc drone thứ nhất và thứ hai lần lượt là P, Q.

Khi đó: \(P\left( {2,5;1,5;0,06} \right)\), \(Q\left( { - 3; - 2,5;0,04} \right)\).

Gọi I là điểm tiếp nhiên liệu trên mặt đất (Oxy). Khi đó I\(({x_I};{y_I};0)\).

Khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu tới hai drone nhỏ nhất, tức là IP + IQ nhỏ nhất.

Gọi P’ là điểm đối xứng của P qua (Oxy). Khi đó \(P'\left( {2,5;1,5; - 0,06} \right)\) và IP = IP’.

Vậy để IP + IQ nhỏ nhất thì IP’ + IQ nhỏ nhất. Điều đó xảy ra khi Q, I, P’ thẳng hàng, hay \(\overrightarrow {QP'} \), \(\overrightarrow {QI} \) cùng phương.

\(\overrightarrow {QP'} {\rm{\;}} = \left( {2,5 + 3;1,5 + 2,5; - 0,06 - 0,04} \right) = \left( {5,5;4; - 0,1} \right)\); \(\overrightarrow {QI} {\rm{\;}} = \left( {{x_I} + 3;{y_I} + 2,5; - 0,04} \right)\).

Để \(\overrightarrow {QC} \), \(\overrightarrow {QI} \) cùng phương thì \(\frac{{{x_I} + 3}}{{5,5}} = \frac{{{y_I} + 2,5}}{4} = \frac{{ - 0,04}}{{ - 0,1}}\). Từ đó tính được \({x_I} = - 0,8\); \({y_I} = - 0,9\).

Ta có \(I\left( { - 0,8; - 0,9;0} \right)\), suy ra \(a = 0,8\); \(b = 0,9\). Vậy a + b = 0,8 + 0,9 = 1,7.

Ứng dụng tích phân để tìm ra Tít hay Mít chạy được 10 km nhanh hơn. Tại thời điểm đó, tính quãng đường bạn còn lại đã chạy được. Từ đó, tính khoảng cách giữa hai bạn.

Ta có \({s_M}'(t) = 5 - \frac{5}{{2\pi }}\cos \left( {2\pi t} \right).2\pi = 5 - 5\cos \left( {2\pi t} \right) \ge 0\) nên hàm số \({s_M}(t)\) đồng biến.

Khi đó, \({s_M}(t) = 5t - \frac{5}{{2\pi }}\sin \left( {2\pi t} \right) = 10 \Leftrightarrow t = 2\).

Phương trình quãng đường Tít chạy được là \({s_T}(t) = \int {{v_T}dt} = \int {5\sqrt t dt} = 5.\frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{{10}}{3}t\sqrt t + C\).

Vì s(0) = 0 nên C = 0. Do đó \({s_T}(t) = \frac{{10}}{3}t\sqrt t \).

Ta có \({s_T}(t) = \frac{{10}}{3}t\sqrt t = 10 \Leftrightarrow t\sqrt t = 3 \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{9}\).

Vì \(\sqrt[3]{9} > 2\) nên Mít chạy được quãng đường 10 km trước. Cùng lúc đó, Tít chạy được \({s_T}(2) = \frac{{10}}{3}.2\sqrt 2 = \frac{{20\sqrt 2 }}{3}\) km.

Khoảng cách giữa hai bạn là \(10 - \frac{{20\sqrt 2 }}{3} \approx 0,57\) km.

Liệt kê các trường hợp. Áp dụng quy tắc nhân xác suất, công thức tính tổ hợp.

Không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = {2^8}\).

Có tối đa 4 bạn cùng đứng.

TH1: Có 4 bạn cùng đứng.

\( \Rightarrow \) Số cách: 2.

TH2: Có 3 bạn cùng đứng. \(C_8^3\) cách:

- Số cách chọn 3 bạn liền kề cùng đứng: 8.

- Số cách chọn 2 bạn liền kề và 1 bạn không liền kề cùng đứng: 8.4 = 32.

\( \Rightarrow \) Số cách: \(C_8^3 - 8 - 32 = 16\).

TH3: Có 2 bạn cùng đứng:

\( \Rightarrow \) Số cách: \(\frac{{8.5}}{2} = 20\).

TH4: Có 1 bạn đứng.

\( \Rightarrow \) Số cách: \(C_8^1 = 20\).

TH5: Có 0 bạn đứng.

\( \Rightarrow \) Số cách: 1.

Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là \(P = \frac{{2 + 16 + 20 + 8 + 1}}{{{2^8}}} = \frac{{47}}{{256}} \approx 0,18\).