Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều - Đề số 5

Với a là số thực khác 0 thì \({a^0} = 1\).

Với a là số thực khác 0 thì \({a^0} = 1\).

Đáp án D.

Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

\(P = \sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{6}}}\)

Đáp án B.

\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|\) khi n chẵn (với các biểu thức đều có nghĩa).

\(\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = \left| {x - 1} \right|\).

Đáp án C.

+ Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

+ Với a là số thực dương, m, n là các số thực bất kì thì: \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}},{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\).

\(\frac{{\sqrt a .\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt[4]{a}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{2}}}.{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}}}} = {a^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4}}} = {a^{\frac{{11}}{{12}}}} = \sqrt[{12}]{{{a^{11}}}}\)

Đáp án A.

Thay t vào công thức $N={{100.2}^{\frac{t}{2}}}$ để tìm số con vi khuẩn.

Đổi 4 giờ 30 phút\( = \frac{9}{2}\) (giờ)

Sau \(\frac{9}{2}\) giờ sẽ có số con vi khuẩn là: \({100.2^{\frac{{\frac{9}{2}}}{2}}} = {100.2^{\frac{9}{4}}} \approx 476\) (con).

Đáp án C.

Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để \({a^c} = b\) được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu \({\log _a}b\).

Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để \({a^c} = b\) được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu \({\log _a}b\).

Đáp án A.

Với \(a,b > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = - {\log _a}b\)

\({\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) = - {\log _a}b\)

Đáp án B.

Với n số thực dương \({b_1},{b_2},..,{b_n}\) thì: \({\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}...{b_n}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2} + ... + {\log _a}{b_n}\)

Với n số thực dương \({b_1},{b_2},..,{b_n}\) thì: \({\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}...{b_n}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2} + ... + {\log _a}{b_n}\)

Đáp án A.

+ Với a là số thực dương, m, n là các số thực bất kì thì: \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\).

+ Với \(a > 0,a \ne 1,b,c > 0\) thì \(\ln x + \ln y = \ln \left( {xy} \right)\).

Ta có: \({3^{\ln x}}{.3^{\ln y}} = {3^{\ln x + \ln y}} = {3^{\ln \left( {xy} \right)}}\)

Đáp án C.

Với \(a > 0,a \ne 1,b,c > 0\) thì: \({\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right)\), \({\log _{{b^a}}}c = \frac{1}{a}{\log _b}c\), \(\alpha {\log _a}b = {\log _a}{b^\alpha }\) \(\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\)

\(2{\log _5}10 + {\log _{25}}0,25 = {\log _5}{10^2} + \frac{1}{2}{\log _5}0,25 = {\log _5}100 + {\log _5}0,{25^{\frac{1}{2}}} = {\log _5}\left( {100.0,5} \right) = {\log _5}50\)

Đáp án D.

Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) với \(a > 1\).

Vì hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) với \(a > 1\) nên hàm số đồng biến khi \(a = \frac{3}{2}\).

Đáp án C.

Hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Hàm số \(y = {\left( {3x} \right)^3}\) không phải là hàm số mũ.

Đáp án B.

Hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Hàm số \(y = {\log _a}u\left( x \right)\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) xác định khi \(u\left( x \right) > 0\).

Hàm số \(y = {e^{5x}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Đáp án C.

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) có tập giá trị là \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) có tập giá trị là \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

Đáp án A.

Thay điểm A(2; 2) vào hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) để tìm a.

Vì đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đi qua điểm A(2; 2) nên ta có:

\({\log _a}2 = 2 \Leftrightarrow {a^2} = 2 \Rightarrow a = \sqrt 2 \) (do \(a > 0,a \ne 1\))

Đáp án B.

Cho hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\):

+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số \(y = {\left( { - {a^2} + 2a + 4} \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi:

\( - {a^2} + 2a + 4 > 1 \Leftrightarrow - {a^2} + 2a + 3 > 0 \Leftrightarrow {a^2} - 2a - 3 < 0 \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)\left( {a - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow - 1 < a < 3\)

Mà a là số nguyên nên \(a \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị nguyên của a để hàm số \(y = {\left( { - {a^2} + 2a + 4} \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án C.

Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng \(\left[ {a;b} \right)\). Độ dài của nhóm \(\left[ {a;b} \right)\) là \(b - a\).

Độ dài nhóm \(\left[ {12;16} \right)\) là: \(16 - 12 = 4\)

Đáp án B.

Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì \(A \cap B = \emptyset \), suy ra \(P\left( {A \cap B} \right) = 0\).

Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì \(A \cap B = \emptyset \), suy ra \(P\left( {A \cap B} \right) = 0\).

Đáp án A.

Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:

Cỡ mẫu của mẫu số liệu là: \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_m}\)

Cỡ mẫu của mẫu số liệu là: \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_m}\)

Đáp án A.

Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì: \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right)\).

A và B là hai biến cố độc lập khi \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,16\)

Đáp án D.

Sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất.

Ta có sơ đồ hình cây:

Xác suất của biến cố: “Có ít nhất 3 học sinh nữ trong 5 học sinh vừa chọn” là:

\(\frac{{C_{12}^3.C_8^2 + C_{12}^4.C_8^1 + C_{12}^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{682}}{{969}}\)

Đáp án A.

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

Không gian mẫu: “Chọn ra đồng thời 2 thẻ trong 20 thẻ”. Số phần tử của không gian mẫu là: \(C_{20}^2\).

Gọi A là biến cố: “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4”. Biến cố A xảy ra khi 2 thẻ được chọn ghi số 1 và số 2. Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{1}{{C_{20}^2}} = \frac{1}{{190}}\)

Gọi B là biến cố: “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra lớn hơn 37”. Biến cố B xảy ra khi 2 thẻ được chọn ghi số 18 và số 20 hoặc 20 và 19. Xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{2}{{C_{20}^2}} = \frac{2}{{190}}\)

Do A và B là hai biến cố xung khắc nên xác suất của biến cố: “Tổng các số ghi trên hai thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 37” là: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{1}{{190}} + \frac{2}{{190}} = \frac{3}{{190}}\).

Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:

+ Trung điểm \({x_i}\) của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng hai đầu mút) ứng với nhóm i là giá trị đại diện của nhóm đó.

+ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(\overline x \), được tính theo công thức: \(\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}}}{n}\)

Ta có bảng:

Trung bình mỗi bạn học sinh lớp 11B mang đến trường số cuốn sách là:

\(\overline x = \frac{{2.5 + 4.10 + 6.14 + 8.8 + 10.3 + 12.2}}{{42}} = 6\) (cuốn)

Đáp án C.

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).

Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a, b) là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b

Đáp án D.

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\)

Vì AD//BC, MN//SA nên \(\left( {MN,BC} \right) = \left( {SA,AD} \right)\)

Đáp án C.

+ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).

+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá \({90^0}\).

Vì IM là đường trung bình của tam giác ABC nên IM//AB và \(IM = \frac{{AB}}{2} = a\)

Vì IN là đường trung bình của tam giác ADC nên IN//CD và \(IN = \frac{{CD}}{2} = a\)

Do đó, \(\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right)\)

Áp dụng định lí côsin vào tam giác MNI ta có:

\(M{N^2} = I{M^2} + I{N^2} - 2IM.IN.\cos \widehat {MIN} \Rightarrow 3{a^2} = {a^2} + {a^2} - 2a.a.\cos \widehat {MIN} \Rightarrow \cos \widehat {MIN} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \widehat {MIN} = {120^0}\)

Suy ra: \(\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right) = {180^0} - \widehat {MIN} = {180^0} - {120^0} = {60^0}\)

Đáp án B.

+ Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

+ Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \({90^0}\).

Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC.

Vì \(SA = SC\) nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(SO \bot AC\)

Vì I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC nên IK là đường trung bình của tam giác BAC. Do đó, IK//AC.

Vì \(SO \bot AC\), IK//AC nên \(IK \bot SO\). Do đó, góc giữa hai đường thẳng SO và IK bằng \({90^0}\).

Đáp án B.

Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),AC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC\). Do đó, tam giác SAC vuông tại A.

Đáp án A.

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\)

Vì \(SA \bot AB,SA \bot AD\), AB và AD cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).

SA không vuông góc với mặt phẳng (SAC).

Đáp án B.

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì các đường thẳng song song với a cũng vuông góc với (P).

Vì \(OA \bot \left( {OBC} \right),\)MN//OA nên \(MN \bot \left( {OBC} \right)\)

MN không vuông góc với mặt phẳng (OAD).

Đáp án A.

Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Vì C thuộc mặt phẳng (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của điểm C trên mặt phẳng (ABCD) là chính nó.

Vì A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Do đó, hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD) là AC.

Đáp án A.

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng d cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với (P).

+ Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).

Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB. Do đó, MN//AB.

Vì P, N lần lượt là trung điểm của SC, SB nên PN là đường trung bình của tam giác SBC. Do đó, PN//CB.

Vì MN//AB, PN//CB nên (MNP)// (ABC).

Mặt khác, \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SH \bot \left( {MNP} \right)\). Mà \(MP \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow SH \bot MP\)

Do đó, góc giữa hai đường thẳng MP và SH bằng \({90^0}\).

Đáp án B.

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Vì \(OA \bot OB,OA \bot OC\) và OB và OC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OBC) nên \(OA \bot \left( {OBC} \right)\) nên O là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (COB).

Đáp án C.

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Vì \(AC = AD = CD\) nên tam giác ACD là tam giác đều. Do đó, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(AM \bot CD\)

Vì \(BC = BD = CD\) nên tam giác BCD là tam giác đều. Do đó, BM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(BM \bot CD\)

Vì \(AM \bot CD\), \(BM \bot CD\), AM, BM cắt nhau tại M và nằm trong mặt phẳng ABM.

Do đó, \(CD \bot \left( {AMB} \right)\). Mà \(AB \subset \left( {ABM} \right) \Rightarrow AB \bot CD\)

Do đó, góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng \({90^0}\).

Đáp án C.

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Vì ABCD là hình vuông nên \(AC \bot BD\)

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),BD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\)

Ta có: \(AC \bot BD\), \(SA \bot BD\), SA, AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\)

Lại có: \(BM \bot SC\), BM và BD cắt nhau tại B và nằm trong mặt phẳng (BMD) nên \(SC \bot \left( {BMD} \right)\).

Mà \(MD \subset \left( {BMD} \right) \Rightarrow MD \bot SC\) hay \(MD \bot SM\). Do đó, tam giác SMD vuông tại M.

Đáp án A.

Hàm số \(y = \log u\left( x \right)\) xác định khi \(u\left( x \right) > 0\).

Hàm số \(y = \sqrt {u\left( x \right)} \) xác định khi \(u\left( x \right) \ge 0\).

a) Với \(m = 0\) ta có: \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {{x^2} - 2x + 5} \right)} \).

Hàm số \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {{x^2} - 2x + 5} \right)} \) xác định khi

\(\log \left( {{x^2} - 2x + 5} \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 5 > 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 3 > 0\) (luôn đúng với mọi số thực x)

Vậy với \(m = 0\) thì tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

b) Hàm số \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)} \)

Điều kiện: \(\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5 \ge 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Đặt \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4\)

Trường hợp 1: Với \(m = - 1\) ta có: \(f\left( x \right) = 4 \ge 0\). Do đó, f(x) xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, \(m = - 1\) thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(m \ne - 1\).

Hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {m + 1} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\\left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m \le 3\)

Vậy với \(m \in \left[ { - 1;3} \right]\) thì hàm số \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

a) Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, \(HK//BD\). Mà \(AC \bot BD\) (do ABCD là hình vuông) nên \(AC \bot HK\)

Vì \(AC \bot HK,SH \bot AC\left( {do\;AC \subset \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow AC \bot \left( {SHK} \right)\)

b) Gọi I là giao điểm của CK và DH.

Tam giác AHD và tam giác DKC có: \(AH = DK,\widehat {HAD} = \widehat {KDC},AD = DC\)

Do đó, \(\Delta AHD = \Delta DKC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {HDA} = \widehat {KCD}\)

Ta có: \(\widehat {DKC} + \widehat {KCD} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DKC} + \widehat {HDA} = {90^0}\)

Ta có: \(\widehat {DIK} = {180^0} - \left( {\widehat {DKC} + \widehat {HDA}} \right) = {90^0} \Rightarrow DH \bot CK\)

Mà \(SH \bot \left( {ABCD} \right),CK \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot CK\)

Ta có: \(DH \bot CK,SH \bot CK\), SH và DH nằm trong mặt phẳng (SHD) và cắt nhau tại H nên \(CK \bot \left( {SDH} \right)\).

+ \({a^n} = a.a...a\left( {a \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}*} \right)\) (có n thừa số a)

+ Giả sử \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\), khi đó, \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Gọi m, r, \({N_n}\), a lần lượt là số tiền vay ngân hàng, lãi suất hàng tháng, tổng số tiền vay còn lại sau n tháng, số tiền trả đều đặn mỗi tháng.

Sau khi hết tháng thứ nhất \(\left( {n = 1} \right)\) thì số tiền nợ của bác còn: \({N_1} = m\left( {r + 1} \right) - a\) (đồng)

Sau khi hết tháng thứ hai \(\left( {n = 2} \right)\) thì số tiền nợ của bác còn:

\({N_2} = \left[ {m\left( {r + 1} \right) - a} \right]\left( {r + 1} \right) - a = m{\left( {1 + r} \right)^2} - a\left( {1 + r} \right) - a = m{\left( {r + 1} \right)^2} - \frac{a}{r}\left[ {{{\left( {r + 1} \right)}^2} - 1} \right]\) (đồng)

Sau khi hết tháng thứ ba \(\left( {n = 3} \right)\) thì số tiền nợ của bác còn:

\({N_3} = \left[ {m{{\left( {r + 1} \right)}^2} - \frac{a}{r}\left[ {{{\left( {r + 1} \right)}^2} - 1} \right]} \right]\left( {r + 1} \right) - a = m{\left( {r + 1} \right)^3} - \frac{a}{r}\left[ {{{\left( {r + 1} \right)}^3} - 1} \right]\) (đồng)

…

Sau khi hết tháng thứ n, số tiền bác còn nợ là: \({N_n} = m{\left( {r + 1} \right)^n} - \frac{a}{r}\left[ {{{\left( {r + 1} \right)}^n} - 1} \right]\)

Bác B trả hết nợ khi \({N_n} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{m{{\left( {r + 1} \right)}^n}r}}{{{{\left( {r + 1} \right)}^n} - 1}} = \frac{{{{2.10}^8}.{{\left( {1 + 0,012} \right)}^{60}}.0,012}}{{{{\left( {1 + 0,012} \right)}^{60}} - 1}} \approx 4\;695\;229\;\)(đồng)

Vậy mỗi tháng bác phải trả ngân hàng khoảng 4 695 229 đồng.