Giải mục 3 trang 53, 54, 55, 65, 57, 58, 59 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tổng quan nội dung
Khám Phá Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập Tuyệt Vời Tại kienthucchiase.com
Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Nền tảng kienthucchiase.com được xây dựng với mục tiêu cốt lõi là mang tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng đến gần hơn với cộng đồng. Điều này không chỉ giúp tối ưu hiệu suất mà còn tạo cảm hứng mạnh mẽ để bạn tiếp tục đạt kết quả cao trong học tập. Bạn sẽ không phải thất vọng khi đặt niềm tin vào nền tảng của chúng tôi, nơi mà mọi tài liệu học tập và giải bài tập đều được kiểm duyệt kỹ lưỡng và sắp xếp khoa học.
Chúng tôi hiểu rằng chất lượng của tài liệu học tập và giải bài tập quyết định trực tiếp đến sự thành công của bạn. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại kienthucchiase.com giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Hãy biến mỗi phút giây trực tuyến của bạn thành những khoảnh khắc hữu ích.
Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = \left( {2;1;3} \right)\) và \(\vec a' = \left( {3;2; - 8} \right)\).
TH9
Trả lời câu hỏi Thực hành 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}.\)
b) \(d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - 10t\\y = 7 - 10t\\z = 15 + 5t\end{array} \right.\).
c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 23 + 2t\\y = 57 + t\\z = 19 - 5t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t'\\y = 6 + t'\\z = t'\end{array} \right.\).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;5;4} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;5; - 4} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 5.5 + 4.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} .\sqrt {{2^2} + {5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {71^o}34'\).
b) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;6;6} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( { - 10; - 10;5} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 10} \right) + 6.\left( { - 10} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{9}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {63^o}37'\).
c) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;1;1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 5} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{15}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {77^o}50'\).
HĐ8
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = \left( {2;1;3} \right)\) và \(\vec a' = \left( {3;2; - 8} \right)\).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong không gian.
b) Vectơ \(\vec b = \left( { - 2;; - 1; - 3} \right)\) có phải là một vectơ chỉ phương của \(d\) không?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian đã được học ở các lớp dưới.
b) Kiểm tra xem \(\vec b\) có cùng phương với vectơ \(\vec a\) không.
c) Do góc của hai đường thẳng lớn nhất là 90 độ, còn góc giữa hai vectơ lớn nhất là 180 độ.
d) Từ câu c, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) cùng đi qua một điểm và tương ứng song song (hoặc trùng) với \(d\) và \(d'\).
b) Ta có \(\vec b = \left( { - 2; - 1; - 3} \right) = - \vec a\) nên \(\vec b\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
c) Do \(\vec a\) và \(\vec a'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của \(d\) và \(d'\), nên ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right|\).
Ta có \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ đối nhau, nên ta có \(\left( {\vec a,\vec a'} \right)\) và \(\left( {\vec b,\vec a'} \right)\) là hai góc bù nhau. Suy ra \(\left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
Như vậy \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Từ câu c, ta có côsin của góc giữa hai đường thẳng trong không gian là giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
TH10
Trả lời câu hỏi Thực hành 10 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 3t\\y = - 11 + t\\z = - 21 - 2t\end{array} \right.\) và \(\left( P \right):6x + 2y - 4z + 7 = 0.\)
b) \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}\) và \(\left( P \right):2x + 2y - 4z + 1 = 0.\)
c) \(d:\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}\) và \(\left( P \right):2y - 4z + 7 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {3;1; - 2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {6;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {3.6 + 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {90^o}\).
b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {2;4;2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {2;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{6}\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) \approx {9^o}36'\).
c) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {4;4;2} \right).\)
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {0;2; - 4} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {0^o}.\)
TH11
Trả lời câu hỏi Thực hành 11 trang 58 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left( P \right):3x + 7y - z + 4 = 0\) và \(\left( {P'} \right):x + y - 10z + 2025 = 0.\)
b) \(\left( P \right):x + y - 2z + 9 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0.\)
c) \(\left( P \right):x + z + 3 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3y + 3z + 5 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\), sau đó sử dụng công thức \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {3;7; - 1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {1;1; - 10} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 7.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 10} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {6018} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {75^o}3'.\)
b) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\vec n' = \left( {3; - 5;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.3 + 1.\left( { - 5} \right) + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt {210} }}{{105}}\).
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {73^o}59'.\)
c) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;0;1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {0;3;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.3 + 1.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {3^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{2}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {30^o}.\)
TH12
Trả lời câu hỏi Thực hành 12 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Cho biết \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng \(AC\) và \(BA'.\)
b) hai mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right).\)
c) đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right).\)
Phương pháp giải:
a) Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(AC\) và \(BA'\), côsin góc giữa hai đường thẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
b) Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
c) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC'\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\), sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\), suy ra \(C\left( {1;5;0} \right).\)
Suy ra \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BA'} = \left( { - 1;0;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {AC,BA'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.0 + 0.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {65} }}{{130}}\).
Vậy \(\left( {AC,BA'} \right) \approx {86^o}27'.\)
b) Ta có \(BB' \bot AC\) và \[DB \bot AC\] nên \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right).\)
Ta có \(CC' \bot BD\) và \[AC \bot BD\] nên \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {AA'C'C} \right).\)
Như vậy,
\(\cos \left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.5 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2} + {0^2}} }} = \frac{{12}}{{13}}.\)
Suy ra \(\left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) \approx {22^o}37'\).
c) Ta có \(C'\left( {1;5;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right).\)
Ta có \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Suy ra mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B} \left( {1;0; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {A'D} \left( {0;5; - 3} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {15;3;5} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC'} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {1.15 + 5.3 + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} .\sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{9\sqrt {185} }}{{259}}.\)
Suy ra \(\left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) \approx {28^o}12'.\)
HĐ10
Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 57 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\), \(\vec n' = \left( {{n_1}';{n_2}';{n_3}'} \right)\) (hình dưới dây).
Gọi \(d\) và \(d'\) là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\). Gốc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\). So sánh \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right)\) và \(\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right).\)
Phương pháp giải:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), từ đó rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), nên suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left( {d,d'} \right).\)
Như vậy \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\). (Do \(\vec n\) và \(\vec n'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(d'.\)
VD5
Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian \(Oxyz\). Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là: \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{9}\) (hình dưới đây).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
Tia sáng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 1} \right)\).
Tia sáng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {3;3;9} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.3 + \left( { - 1} \right).9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2} + {9^2}} }} = 0\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) = {90^o}\).
VD7
Trả lời câu hỏi Vận dụng 7 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right):4x + 11z + 5 = 0\) và mặt sàn \(\left( Q \right):z - 1 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) và mặt sàn \(\left( Q \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {4;0;11} \right).\)
Mặt sàn \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 0.0 + 11.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {0^2} + {{11}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {137} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx {19^o}59'.\)
VD6
Trả lời câu hỏi Vận dụng 6 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Đề bài:
Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa tia sáng có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và măt sàn sân khấu có phương trình \(z = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của tia sáng \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt sân khấu \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
Một vectơ chỉ phương của tia sáng \(d\) là \(\vec a = \left( {0;1;1} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt sân khấu \(\left( P \right)\) là
\(\vec n = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {0.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {45^o}.\)
HĐ9
Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\). Biết \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(N\) và hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\) là đường thẳng \(d'\). Qua \(N\) vẽ đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) (hình dưới đây).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
b) Có nhận xét gì về số đo hai góc \(\alpha = \left( {d,d'} \right)\); \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\)?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\).
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đã được học ở các lớp dưới.
b) Chỉ ra rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}\).
c) Từ câu b, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({90^o}\).
Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \(\left( P \right).\)
b) Nhìn vào hình vẽ, ta thấy rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}.\)
c) Do \(\alpha + \beta = {90^o}\) nên ta có \(\sin \alpha = \cos \beta .\)
Ta có \(d'\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\), nên \(\alpha = \left( {d,d'} \right) = \left( {d,\left( P \right)} \right).\)
Ta có \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\) nên \(\cos \beta = \cos \left( {\Delta ,d} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\). (Vì \(\vec a\) và \(\vec n\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(\Delta \)).
Mà \(\sin \alpha = \cos \beta \) nên \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
- HĐ8
- TH9
- VD5
- HĐ9
- TH10
- VD6
- HĐ10
- TH11
- TH12
- VD7
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = \left( {2;1;3} \right)\) và \(\vec a' = \left( {3;2; - 8} \right)\).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong không gian.
b) Vectơ \(\vec b = \left( { - 2;; - 1; - 3} \right)\) có phải là một vectơ chỉ phương của \(d\) không?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian đã được học ở các lớp dưới.
b) Kiểm tra xem \(\vec b\) có cùng phương với vectơ \(\vec a\) không.
c) Do góc của hai đường thẳng lớn nhất là 90 độ, còn góc giữa hai vectơ lớn nhất là 180 độ.
d) Từ câu c, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) cùng đi qua một điểm và tương ứng song song (hoặc trùng) với \(d\) và \(d'\).
b) Ta có \(\vec b = \left( { - 2; - 1; - 3} \right) = - \vec a\) nên \(\vec b\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
c) Do \(\vec a\) và \(\vec a'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của \(d\) và \(d'\), nên ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right|\).
Ta có \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ đối nhau, nên ta có \(\left( {\vec a,\vec a'} \right)\) và \(\left( {\vec b,\vec a'} \right)\) là hai góc bù nhau. Suy ra \(\left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
Như vậy \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Từ câu c, ta có côsin của góc giữa hai đường thẳng trong không gian là giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Trả lời câu hỏi Thực hành 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}.\)
b) \(d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - 10t\\y = 7 - 10t\\z = 15 + 5t\end{array} \right.\).
c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 23 + 2t\\y = 57 + t\\z = 19 - 5t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t'\\y = 6 + t'\\z = t'\end{array} \right.\).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;5;4} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;5; - 4} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 5.5 + 4.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} .\sqrt {{2^2} + {5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {71^o}34'\).
b) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;6;6} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( { - 10; - 10;5} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 10} \right) + 6.\left( { - 10} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{9}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {63^o}37'\).
c) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;1;1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 5} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{15}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {77^o}50'\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian \(Oxyz\). Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là: \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{9}\) (hình dưới đây).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
Tia sáng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 1} \right)\).
Tia sáng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {3;3;9} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.3 + \left( { - 1} \right).9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2} + {9^2}} }} = 0\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) = {90^o}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\). Biết \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(N\) và hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\) là đường thẳng \(d'\). Qua \(N\) vẽ đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) (hình dưới đây).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
b) Có nhận xét gì về số đo hai góc \(\alpha = \left( {d,d'} \right)\); \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\)?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\).
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đã được học ở các lớp dưới.
b) Chỉ ra rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}\).
c) Từ câu b, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({90^o}\).
Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \(\left( P \right).\)
b) Nhìn vào hình vẽ, ta thấy rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}.\)
c) Do \(\alpha + \beta = {90^o}\) nên ta có \(\sin \alpha = \cos \beta .\)
Ta có \(d'\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\), nên \(\alpha = \left( {d,d'} \right) = \left( {d,\left( P \right)} \right).\)
Ta có \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\) nên \(\cos \beta = \cos \left( {\Delta ,d} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\). (Vì \(\vec a\) và \(\vec n\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(\Delta \)).
Mà \(\sin \alpha = \cos \beta \) nên \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 10 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 3t\\y = - 11 + t\\z = - 21 - 2t\end{array} \right.\) và \(\left( P \right):6x + 2y - 4z + 7 = 0.\)
b) \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}\) và \(\left( P \right):2x + 2y - 4z + 1 = 0.\)
c) \(d:\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}\) và \(\left( P \right):2y - 4z + 7 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {3;1; - 2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {6;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {3.6 + 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {90^o}\).
b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {2;4;2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {2;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{6}\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) \approx {9^o}36'\).
c) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {4;4;2} \right).\)
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {0;2; - 4} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {0^o}.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 6 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Đề bài:
Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa tia sáng có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và măt sàn sân khấu có phương trình \(z = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của tia sáng \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt sân khấu \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
Một vectơ chỉ phương của tia sáng \(d\) là \(\vec a = \left( {0;1;1} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt sân khấu \(\left( P \right)\) là
\(\vec n = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {0.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {45^o}.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 57 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\), \(\vec n' = \left( {{n_1}';{n_2}';{n_3}'} \right)\) (hình dưới dây).
Gọi \(d\) và \(d'\) là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\). Gốc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\). So sánh \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right)\) và \(\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right).\)
Phương pháp giải:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), từ đó rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), nên suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left( {d,d'} \right).\)
Như vậy \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\). (Do \(\vec n\) và \(\vec n'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(d'.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 11 trang 58 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left( P \right):3x + 7y - z + 4 = 0\) và \(\left( {P'} \right):x + y - 10z + 2025 = 0.\)
b) \(\left( P \right):x + y - 2z + 9 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0.\)
c) \(\left( P \right):x + z + 3 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3y + 3z + 5 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\), sau đó sử dụng công thức \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {3;7; - 1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {1;1; - 10} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 7.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 10} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {6018} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {75^o}3'.\)
b) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\vec n' = \left( {3; - 5;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.3 + 1.\left( { - 5} \right) + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt {210} }}{{105}}\).
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {73^o}59'.\)
c) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;0;1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {0;3;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.3 + 1.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {3^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{2}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {30^o}.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 12 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Cho biết \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng \(AC\) và \(BA'.\)
b) hai mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right).\)
c) đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right).\)
Phương pháp giải:
a) Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(AC\) và \(BA'\), côsin góc giữa hai đường thẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
b) Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
c) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC'\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\), sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\), suy ra \(C\left( {1;5;0} \right).\)
Suy ra \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BA'} = \left( { - 1;0;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {AC,BA'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.0 + 0.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {65} }}{{130}}\).
Vậy \(\left( {AC,BA'} \right) \approx {86^o}27'.\)
b) Ta có \(BB' \bot AC\) và \[DB \bot AC\] nên \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right).\)
Ta có \(CC' \bot BD\) và \[AC \bot BD\] nên \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {AA'C'C} \right).\)
Như vậy,
\(\cos \left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.5 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2} + {0^2}} }} = \frac{{12}}{{13}}.\)
Suy ra \(\left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) \approx {22^o}37'\).
c) Ta có \(C'\left( {1;5;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right).\)
Ta có \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Suy ra mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B} \left( {1;0; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {A'D} \left( {0;5; - 3} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {15;3;5} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC'} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {1.15 + 5.3 + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} .\sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{9\sqrt {185} }}{{259}}.\)
Suy ra \(\left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) \approx {28^o}12'.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 7 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right):4x + 11z + 5 = 0\) và mặt sàn \(\left( Q \right):z - 1 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) và mặt sàn \(\left( Q \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {4;0;11} \right).\)
Mặt sàn \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 0.0 + 11.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {0^2} + {{11}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {137} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx {19^o}59'.\)
Lợi Ích Khi Tra Cứu Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập Trên kienthucchiase.com
Chúng tôi hiểu rằng chất lượng của tài liệu học tập và giải bài tập quyết định trực tiếp đến sự thành công của bạn. Nền tảng kienthucchiase.com được xây dựng với mục tiêu cốt lõi là mang tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng đến gần hơn với cộng đồng. Việc đạt kết quả cao trong học tập giờ đây trở nên vô cùng đơn giản. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Sự phong phú của tài liệu học tập và giải bài tập trên hệ thống mang lại vô vàn lựa chọn cho người dùng. Bằng cách tham khảo tài liệu học tập và giải bài tập thường xuyên trên kienthucchiase.com, bạn sẽ nắm bắt được những xu hướng mới nhất. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Đừng quên chia sẻ những tài liệu học tập và giải bài tập bổ ích này đến bạn bè và đồng nghiệp để cùng nhau lan tỏa tri thức.
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, kienthucchiase.com tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Sự hài lòng của bạn chính là động lực để hệ thống không ngừng nâng cấp và mở rộng chuyên mục tài liệu học tập và giải bài tập. Hãy chủ động xây dựng kế hoạch đạt kết quả cao trong học tập hợp lý kết hợp với những tài liệu học tập và giải bài tập tuyệt vời này để đạt được thành tựu như mong muốn.
Hướng Dẫn Sử Dụng Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập Hiệu Quả
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Chính vì vậy, kienthucchiase.com luôn ưu tiên tuyển chọn tài liệu học tập và giải bài tập từ những nguồn uy tín. Đội ngũ của chúng tôi luôn nỗ lực cập nhật dữ liệu liên tục để mang đến trải nghiệm tuyệt vời. Với định hướng phát triển bền vững, thư viện tài liệu học tập và giải bài tập này hứa hẹn sẽ còn mang đến nhiều bất ngờ thú vị.
Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng và vốn sống của mỗi cá nhân. Chỉ với một thiết bị kết nối mạng, kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập khổng lồ của kienthucchiase.com luôn sẵn sàng phục vụ bạn 24/7. Chúng tôi cam kết duy trì sự ổn định để bạn yên tâm đạt kết quả cao trong học tập mà không gặp bất kỳ trở ngại nào. Hãy chủ động xây dựng kế hoạch đạt kết quả cao trong học tập hợp lý kết hợp với những tài liệu học tập và giải bài tập tuyệt vời này để đạt được thành tựu như mong muốn.
Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành một phần không thể thiếu đối với mọi người. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại kienthucchiase.com giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Mỗi một tài liệu học tập và giải bài tập đều được trình bày rõ ràng, mạch lạc nhằm hỗ trợ bạn đạt kết quả cao trong học tập hiệu quả nhất. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Đặc Điểm Nổi Bật Của Nền Tảng
- Điểm mạnh số 1: Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 2: Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Khác với các phương ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 3: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 4: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 5: Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
Những Lưu Ý Khi Trải Nghiệm Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Chỉ với một thiết bị kết nối mạng, kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập khổng lồ của kienthucchiase.com luôn sẵn sàng phục vụ bạn 24/7. Sự kết hợp hài hòa giữa giao diện trực quan và nội dung phong phú là điểm cộng lớn cho quá trình đạt kết quả cao trong học tập. Hãy biến mỗi phút giây trực tuyến của bạn thành những khoảnh khắc hữu ích.
Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Nền tảng kienthucchiase.com được xây dựng với mục tiêu cốt lõi là mang tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng đến gần hơn với cộng đồng. Không chỉ tiện lợi, tốc độ tải trang nhanh và hệ thống máy chủ ổn định giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập không bao giờ bị gián đoạn. Có thể nói, việc tích cực tham khảo tài liệu học tập và giải bài tập chính là khoản đầu tư sinh lời tốt nhất cho tương lai của bạn.
Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành một phần không thể thiếu đối với mọi người. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, kienthucchiase.com tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Chúng tôi cam kết duy trì sự ổn định để bạn yên tâm đạt kết quả cao trong học tập mà không gặp bất kỳ trở ngại nào. Với định hướng phát triển bền vững, thư viện tài liệu học tập và giải bài tập này hứa hẹn sẽ còn mang đến nhiều bất ngờ thú vị.
Giải Đáp Thắc Mắc: Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại kienthucchiase.com có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Sự phong phú của tài liệu học tập và giải bài tập trên hệ thống mang lại vô vàn lựa chọn cho người dùng. Bằng cách tham khảo tài liệu học tập và giải .
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại kienthucchiase.com có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Với sự ra đời của các nền tảng trực tuyến, việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập trở nên thuận tiện hơn bao giờ hết. Nền tảng kienthucchiase..
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại kienthucchiase.com có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Sự phát triển không ngừng của tài liệu học tập và giải bài tập đã mở ra những hướng đi mới, mang lại nhiều lợi ích thiết thực. Các tài liệu học tập và.
Tổng Kết Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Chỉ với một thiết bị kết nối mạng, kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập khổng lồ của kienthucchiase.com luôn sẵn sàng phục vụ bạn 24/7. Sự hài lòng của bạn chính là động lực để hệ thống không ngừng nâng cấp và mở rộng chuyên mục tài liệu học tập và giải bài tập. Bạn sẽ không phải thất vọng khi đặt niềm tin vào nền tảng của chúng tôi, nơi mà mọi tài liệu học tập và giải bài tập đều được kiểm duyệt kỹ lưỡng và sắp xếp khoa học.
Chúng tôi hiểu rằng chất lượng của tài liệu học tập và giải bài tập quyết định trực tiếp đến sự thành công của bạn. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại kienthucchiase.com giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Đội ngũ của chúng tôi luôn nỗ lực cập nhật dữ liệu liên tục để mang đến trải nghiệm tuyệt vời. Với định hướng phát triển bền vững, thư viện tài liệu học tập và giải bài tập này hứa hẹn sẽ còn mang đến nhiều bất ngờ thú vị.