Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều - Đề số 4

a) Diện tích hình phẳng (H) là S = 4 + ln3.

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) – 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 6 là S = 2ln3.

c) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là \(V = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).

d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các đường thẳng y = 1, x = 2, x = 6 quanh trục Ox là \(V = \frac{{1 + 6\ln 3}}{3}\).

a) Phương trình \(\left( \beta \right)\) đi qua M(2;-3;1) và song song với \(\left( \alpha \right)\) là x + 2y + 2z + 2 = 0.

b) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(1;-2;3) và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

c) Phương trình mặt cầu tâm I(1;1;-3) và tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 2\).

d) Phương trình mặt cầu (S): \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\) cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4.

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm hằng: \(\int {cdx} = cx + C\).

\(F = \int {{\pi ^2}dx} = {\pi ^2}x + C\).

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).

\(\int {f(x)dx} = \int {{x^{2024}}dx} = \frac{{{x^{2025}}}}{{2025}} + C\).

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác:

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C\); \(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\).

\(\int {\frac{{1 - {{\sin }^3}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \sin x} \right)dx} = - \cot x + \cos x + C\).

Áp dụng tính chất tích phân \(\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k\int\limits_a^b {f(x)dx} \).

\(\int\limits_1^3 {2f(x)dx} = 2\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 2.3 = 6\).

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).

Áp dụng tính chất tích phân \(\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k\int\limits_a^b {f(x)dx} \); \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx} \).

\(F(x) = {x^3}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên \(\int\limits_1^2 {f(x)dx} = {x^3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. = 7\).

\(\int\limits_1^2 {\left( {2 + f(x)} \right)dx} = \int\limits_1^2 {2dx} + \int\limits_1^2 {f(x)dx} = 2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. + {x^3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. = 9\).

Áp dụng công thức tính diện tích diện tích hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \). Dựa vào đồ thị, xét dấu của f(x), từ đó phá dấu trị tuyệt đối.

Quan sát đồ thị, trên khoảng (a;0) thấy đồ thị f(x) nằm phía trên trục hoành nên f(x) > 0, hay |f(x)| = f(x). Mặt khác, trên khoảng (0;b) thấy đồ thị f(x) nằm phía dưới trục hoành nên f(x) < 0, hay |f(x)| = -f(x).

Diện tích hình phẳng là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} = \int\limits_a^0 {\left| {f(x)} \right|dx} + \int\limits_0^b {\left| {f(x)} \right|dx} = \int\limits_a^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^b { - f(x)dx} = m - n\).

Mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (A;B;C)\).

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_3}} = (2;1; - 1)\).

Hai mặt phẳng song song có cùng vecto pháp tuyến.

Mặt phẳng qua A(1;0;-1) và vuông góc với đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow n = (2;1; - 1)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là:

\(1(x - 1) - 1(y - 0) + 1(z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - y + z = 0\).

Thay tọa độ các điểm vào phương trình, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc mặt phẳng.

Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, thấy chỉ có tọa độ điểm N(1;-2;-1) thỏa mãn phương trình mặt phẳng, do: 1 – 2.(-2) + 3.(-1) – 2 = 0.

Vậy N(1;-2;-1) thuộc (P).

Đường thẳng đi qua điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

d đi qua điểm M(0;-1;4) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (3; - 1;5)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 1 - t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

\(d\left( {A,(P)} \right) = \frac{{\left| {5.4 - 10.1 + 10.5 - 5} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{( - 10)}^2} + {{10}^2}} }} = \frac{{11}}{3}\).

Mặt cầu phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm I(a;b;c), bán kính R.

Mặt cầu phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\) có tâm I(1;-2;3), bán kính R = 2.

a) Diện tích hình phẳng (H) là S = 4 + ln3.

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) – 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 6 là S = 2ln3.

c) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là \(V = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).

d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các đường thẳng y = 1, x = 2, x = 6 quanh trục Ox là \(V = \frac{{1 + 6\ln 3}}{3}\).

a, b) Áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).

c) Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \).

d) Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx} \).

a)Đúng. Trên đoạn [1;6], \(f(x) = \frac{{x + 1}}{x} > 0\), khi đó \(\left| {f(x)} \right| = \left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right| = \frac{{x + 1}}{x}\).

Diện tích hình phẳng (H) là \(S = \int\limits_2^6 {\left| {f(x)} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\frac{{x + 1}}{x}dx} = \int\limits_2^6 {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)dx} = x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right. + \ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right.\)

\( = 6 - 2 + \ln 6 - \ln 2 = 4 + \ln \frac{6}{2} = 4 + \ln 3\).

b) Sai. Diện tích hình phẳng đó là:

\(S = \int\limits_2^6 {\left| {f(x) - 1} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\left| {\frac{{x + 1}}{x} - 1} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\frac{{x + 1}}{x}dx} = \int\limits_2^6 {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right. = \ln 6 - \ln 2 = \ln \frac{6}{2} = \ln 3\).

c) Đúng. \({V_1} = \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}^2}dx} = \pi \left( {x + 2\ln x - \frac{1}{x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right.\)

\( = \pi \left( {6 + 2\ln 6 - \frac{1}{6} - 2 - 2\ln 2 + \frac{1}{2}} \right) = \pi \left( {4 + 2\ln 3 + \frac{1}{3}} \right) = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).

d) Sai. \({V_2} = \pi \int\limits_2^6 {\left[ {{f^2}(x) - {1^2}} \right]dx} = \pi \int\limits_2^6 {\left[ {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2} - 1} \right]dx} = \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_2^6 {1dx} \)

\( = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3} - \pi x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array} = } \right.\frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3} - 4\pi = \frac{{\left( {1 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).

a) Phương trình \(\left( \beta \right)\) đi qua M(2;-3;1) và song song với \(\left( \alpha \right)\) là x + 2y + 2z + 2 = 0.

b) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(1;-2;3) và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

c) Phương trình mặt cầu tâm I(1;1;-3) và tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 2\).

d) Phương trình mặt cầu (S): \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\) cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4.

a) \(\left( \beta \right)\) song song với \(\left( \alpha \right)\) nên có cùng VTPT .

b) \(\Delta \) có VTCP là VTPT của \(\left( \alpha \right)\).

c) Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ I đến \(\left( \alpha \right)\).

d) Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến \(\left( \alpha \right)\), sau đó áp dụng định lý Pythagore để tìm bán kính đường tròn giao tuyến.

a)Đúng. \(\left( \beta \right)\) song song với \(\left( \alpha \right)\) nên có cùng VTPT là \(\overrightarrow n = (1;2;2)\).

\(\left( \beta \right)\): \(1(x - 2) + 2(y + 3) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z + 2 = 0\).

b) Sai. Đường thẳng \(\Delta \) có VTCP là VTPT của \(\left( \alpha \right)\).

\(\Delta \): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2 + 2t\\x = 3 + 2t\end{array} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\).

c) Sai. Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ I đến \(\left( \alpha \right)\).

\(d\left( {I,(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 + 2.( - 3) - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 2\).

Phương trình mặt cầu tâm I(1;1;-3) và tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\).

d) Đúng. Mặt cầu (S) có tâm J(-2;1;-3), bán kính R = 5.

Khoảng cách từ tâm J đến \(\left( \alpha \right)\) là \(d\left( {J,(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {1.( - 2) + 2.1 + 2.( - 3) - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3\).

Giao tuyến của (S) và \(\left( \alpha \right)\) là đường tròn có bán kính \(\sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\).

Tính \(\int\limits_0^5 {a(t)dt} \).

\(v(5) = \int\limits_0^5 {a(t)dt} = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{1}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{16}}{t^2}} \right)dt} = \left( { - \frac{1}{{24}}.\frac{{{t^4}}}{4} + \frac{5}{{16}}.\frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^5}\\{_0}\end{array}} \right. = \left( { - \frac{{{t^4}}}{{96}} + \frac{{5{t^3}}}{{48}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^5}\\{_0}\end{array}} \right. = - \frac{{{5^4}}}{{96}} + \frac{{{{5.5}^3}}}{{48}} \approx 6,51\) (m/s).

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).

Quan sát đồ thị, trên đoạn [0;1] thấy f’(x) > 0, trên đoạn [1;3] thấy f’(x) < 0.

\({S_A} = \int_0^1 {\left| {f'(x)} \right|dx} = \int_0^1 {f'(x)dx} = f(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. = f(1) - f(0) = f(1) - 2 = 4 \Rightarrow f(1) = 6\).

\({S_B} = \int_1^3 {\left| {f'(x)} \right|dx} = - \int_1^3 {f'(x)dx} = f(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_3}\end{array}} \right. = f(1) - f(3) = 6 - f(3) = 10 \Rightarrow f(3) = - 4\).

Lập phương trình mặt phẳng (Oxy) và (ABC) theo m. Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng để tìm m.

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0.

Mặt phẳng (ABC) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;m).

Ta có \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{m} = 1 \Leftrightarrow 2mx + my + 2z - 2m = 0\).

\(\cos {60^o} = \frac{{\left| {2m.0 + m.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2m} \right)}^2} + {m^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{2}{{\sqrt {5{m^2} + 4} }} \Leftrightarrow \sqrt {5{m^2} + 4} = 4\)

\(5{m^2} + 4 = 16 \Leftrightarrow {m^2} = \frac{{12}}{5} \Leftrightarrow m = \pm \frac{{2\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là \(\frac{{2\sqrt {15} }}{5} + \left( { - \frac{{2\sqrt {15} }}{5}} \right) = 0\).

Chọn hệ trục tọa độ phù hợp. Lập phương trình mặt phẳng (ABCD) và (MNP) rồi áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.

Giả sử M(a;b;c).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (P)\\MA = MB\\MA = \sqrt {35} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b - c + 4 = 0\\{(a - 3)^2} + {(b - 5)^2} + {(c - 7)^2} = {(a - 5)^2} + {(b - 5)^2} + {(c - 1)^2}\\{(a - 3)^2} + {(b - 5)^2} + {(c - 7)^2} = 35\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = c\\c = a + 2\\{(a - 3)^2} + {(b - 1)^2} + {(c - 7)^2} = 35\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = a + 2\\c = a + 2\\3{a^2} - 14 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.\) (do \(a \in \mathbb{Z}\)).

Suy ra M(2;2;0). \(OM = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {0^2}} = 2\sqrt 2 \approx 2,83\).

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).

\(I = \int\limits_0^1 {\left( {4x - 2{m^2}} \right)dx} = \left( {2{x^2} - 2{m^2}x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. = {2.1^2} - 2{m^2}.1 = 2 - 2{m^2}\).

\(I + 6 > 0 \Leftrightarrow 2 - 2{m^2} + 6 > 0 \Leftrightarrow - 2{m^2} > - 8 \Leftrightarrow {m^2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\).

Mà m là số nguyên nên có 3 giá trị thỏa mãn là m = -1; m = 0; m = 1.

Áp dụng công thức tính thể tích vật thể \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).

Diện tích mặt cắt là \(S(x) = {\left( {\sqrt {9 - {x^2}} } \right)^2} = 9 - {x^2}\).

Thể tích vật thể là \(V = \int\limits_0^3 {S(x)dx} = \int\limits_0^3 {\left( {9 - {x^2}} \right)dx} = \left( {9x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_0}\end{array}} \right. = 9.3 - \frac{{{3^3}}}{3} = 18\).

Lập phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).

H là giao điểm của d và (P).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Giả sử parabol có bề lõm hướng xuống dưới có phương trình \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) (a < 0).

Parabol đó đi qua các điểm có tọa độ (20;0), (-20;0) và (0;20) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.20^2} + b.20 + c\\0 = a.{( - 20)^2} + b.( - 20) + c\\20 = a{.0^2} + b.0 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}400a + 20b = - 20\\400a - 20b = - 20\\c = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{20}}\\b = 0\end{array} \right.\).

Suy ra \(f(x) = - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20\).

Giả sử đường chéo hướng xuống dưới từ trái sang của viên gạch có phương trình y = mx + n, đi qua các điểm có tọa độ (-20;40) và (20;0) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}40 = m.( - 20) + n\\0 = m.20 + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = 20\end{array} \right. \Rightarrow y = - x + 20\).

Đồ thị của parabol vừa tìm cắt đường chéo tại hai điểm có hoành độ x = 0 và x = 20. Trên đoạn [0;20], ta thấy parabol nằm phía trên đường thẳng nên f(x) > -x + 20.

Diện tích một nửa cánh hoa là \(I = \int\limits_0^{20} {\left| { - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20 + x - 20} \right|dx} = I = \int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20 + x - 20} \right)dx} = \frac{{200}}{3}\).

Diện tích một cánh hoa là \(S = 2I = 2.\frac{{200}}{3} = \frac{{400}}{3} \approx 133\) \(\left( {c{m^2}} \right)\).