Đề thi học kì 2 Toán 12 Cánh diều - Đề số 5

a) Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{2}x + 1\), Ox, Oy, x = 2.

b) Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox được tính bằng công thức \(V = \int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)}^2}dx} \).

c) Hình phẳng (H) có diện tích bằng 4 (đvdt).

d) Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox bằng \(\frac{{14\pi }}{3}\) (đvdt).

a) Phương trình mặt cầu (S) là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 3\).

b) Điểm A ngoài mặt cầu (S).

c) Đường thẳng AB cắt mặt cầu (S).

d) Mặt phẳng (ABC) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.

Áp dụng công thức \(\int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C\) và định nghĩa tích phân.

\(\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^5}\\{_1}\end{array}} \right. = \ln 5 - \ln 1 = \ln 5\).

Áp dụng tính chất của tích phân.

\(\int\limits_0^2 {\left[ { - 4 + f(x)} \right]dx} = - \int\limits_0^2 {4dx} + \int\limits_0^2 {{x^3}dx} = - 8 + 4 = - 4\).

Đưa \(y = {3^{2x + 1}}\) về dạng \(y = {a^x}\) rồi áp dụng công thức nguyên hàm \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\).

\(\int {{3^{2x + 1}}dx} = \int {{{\left( {{3^2}} \right)}^x}.3dx} = 3\int {{9^x}dx} = 3.\frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + C = \frac{{{{\left( {{3^2}} \right)}^x}.3}}{{\ln {3^2}}} + C = \frac{{{3^{2x + 1}}}}{{2\ln 3}} + C\).

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), hai đường thẳng x = a, x = b: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).

Ta có \(2{x^2} + 1 > 0\) với mọi x, suy ra \(\left| {2{x^2} + 1} \right| = 2{x^2} + 1\).

\(S = \int\limits_0^1 {\left| {2{x^2} - ( - 1)} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {2{x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} + 1} \right)dx} \).

Đường thẳng \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u = (a;b;c)\).

Đường thẳng \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{1}\) có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_4}} = ( - 1;2; - 1)\).

Mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), nhận \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình tổng quát là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Mặt phẳng đi qua điểm A(1;2;-3) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1; - 2;3)\) có phương trình là \(1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 3z + 12 = 0\).

Mặt phẳng cần tìm đi qua M, nhận vecto chỉ phương của \(\Delta \) làm vecto pháp tuyến.

Vecto chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = (2; - 1;1)\), đồng thời cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm.

Phương trình mặt phẳng đi qua M, nhận \(\overrightarrow u \) làm vecto pháp tuyến là:

\(2(x - 1) - 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + z - 3 = 0\).

Biểu diễn t theo x, y, z rồi viết phương trình chính tắc.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = - 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{x - 1}}{2}\\t = \frac{y}{3}\\t = z + 2\end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}\).

Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Phương trình của mặt cầu tâm I(7;6;-5), bán kính bằng 9 là \({\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 81\).

Lập phương trình mặt cầu tâm I, bán kính \(R = d\left( {I,(P)} \right)\).

Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).

\(R = d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 2.1 - 1.3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }} = \sqrt {\frac{2}{3}} \).

Phương trình mặt cầu tâm I(0;1;3), bán kính \(R = \sqrt {\frac{2}{3}} \) là \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{2}{3}\).

Áp dụng công thức nhân xác suất: P(AB) = P(A).P(B|A).

Ta có \(P(\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\).

Áp dụng công thức nhân xác suất: \(P(B\overline A ) = P(\overline A ).P(B|\overline A ) = \frac{3}{5}.\frac{1}{4} = \frac{3}{{20}}\).

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần.

\(P(\overline B ) = 1 - P(B) = 1 - 0,4 = 0,6\).

\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = 0,4.0,8 + 0,6.0,5 = 0,62\).

a) Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{2}x + 1\), Ox, Oy, x = 2.

b) Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox được tính bằng công thức \(V = \int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)}^2}dx} \).

c) Hình phẳng (H) có diện tích bằng 4 (đvdt).

d) Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox bằng \(\frac{{14\pi }}{3}\) (đvdt).

Áp dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.

a) Đúng. Đường thẳng AB có dạng y = ax + b (a > 0), đi qua A(0;1) và B(2;2).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}1 = a.0 + b\\2 = a.2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 1\).

Vậy hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}x + 1\), Ox, Oy, x = 2.

b) Sai. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)}^2}dx} \).

c) Sai. Diện tích hình phẳng (H) là \(V = \int\limits_0^2 {\left| {\frac{1}{2}x + 1} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)dx} = 3\) (đvdt).

d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)}^2}dx} = \frac{{14\pi }}{3}\) (đvdt).

a) Phương trình mặt cầu (S) là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 3\).

b) Điểm A ngoài mặt cầu (S).

c) Đường thẳng AB cắt mặt cầu (S).

d) Mặt phẳng (ABC) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.

a) Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I(-2;1;5), bán kính bằng 3.

b) Tính IA và so sánh với bán kính mặt cầu.

c) Tính IB, nhận xét vị trí của A, B so với mặt cầu rồi kết luận.

d) Vậy (S) cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính \(\sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,(ABC)} \right)} \).

a)Sai. Phương trình mặt cầu (S) tâm I(-2;1;5), bán kính bằng 3 là:

\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = {3^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 9\).

b) Đúng. \(IA = \sqrt {{{\left( {10 + 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 5} \right)}^2}} = 3\sqrt {17} > 3\) nên điểm A nằm ngoài mặt cầu.

c) Đúng. \(IB = \sqrt {{{\left( {0 + 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 5} \right)}^2}} = \sqrt 5 < 3\) nên điểm B nằm trong mặt cầu.

Vì A nằm ngoài mặt cầu, B nằm trong mặt cầu nên đường thẳng AB cắt mặt cầu (S).

d) Sai. Ta có \(\overrightarrow {AB} = ( - 10;0;2)\), \(\overrightarrow {AC} = ( - 10;2;2)\).

Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến là:

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 10}\\2&{ - 10}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 10}&0\\{ - 10}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 4;0; - 20} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (ABC) là \( - 4\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 1} \right) - 20\left( {z - 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 4x - 20z + 80 = 0 \Leftrightarrow x + 5z - 20 = 0\).

Ta có \(d\left( {I,(ABC)} \right) = \frac{{\left| {1.( - 2) + 0.1 + 5.5 - 20} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {5^2}} }} = \frac{{3\sqrt {26} }}{{26}}\).

Vậy (S) cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính:

\(\sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,(ABC)} \right)} = \sqrt {9 - \frac{9}{{26}}} = \frac{{15\sqrt {26} }}{{26}}\).

Lập phương trình 3 đồ thị biểu diễn vận tốc của xe rồi áp dụng tích phân tính quãng đường.

Đổi: 360 km/h = 100 m/s.

Gọi parabol biểu diễn vận tốc trong 2 giây đầu là \(y = a{t^2} + bt + c\) (a > 0).

Parabol đi qua điểm có tọa độ (0;0), (2;60) và đỉnh có tọa độ (0;0), do đó ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.0^2} + b.0 + c\\60 = a{.2^2} + b.2 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = c\\60 = 4a + 2b + c\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = c\\a = 15\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow y = v(t) = 15{t^2}\).

Gọi đường thẳng biểu diễn tốc độ từ giây thứ 2 đến giây thứ 3 là y = mt + n (m > 0).

Đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ (2;60) và (3;360) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}60 = m.2 + n\\100 = m.3 + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 40\\n = - 20\end{array} \right. \Rightarrow y = v(t) = 40t - 20\).

Đường thẳng biểu diễn tốc độ từ giây thứ 3 đến giây thứ 5 là y = v(t) = 100.

Vậy trong 5 giây đầu, xe đi được quãng đường là:

\(S = \int\limits_0^2 {15{t^2}dt} + \int\limits_2^3 {(40t - 20)dt} + \int\limits_3^5 {100dt} = 320\) (m).

Tìm tọa độ của M, N theo tham số t. Tìm t, vecto chỉ phương và một điểm \(\Delta \) đi qua để lập phương trình \(\Delta \).

Phương trình của d viết dưới dạng chứa tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = t\\z = 2 + t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

Vì M thuộc d nên \(M( - 1 + 2t;t;2 + t)\).

Mặt khác, A là trung điểm của MN nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2}\\{y_A} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2}\\{z_A} = \frac{{{z_M} + {z_N}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_A} - {x_M} = 2.1 - ( - 1 + 2t) = 3 - 2t\\{y_N} = 2{y_A} - {y_M} = 2.( - 1) - t = - 2 - t\\{z_N} = 2{z_A} - {z_M} = 2.2 - (2 + t) = 2 - t\end{array} \right. \Rightarrow N(3 - 2t; - 2 - t;2 - t)\).

Vì N thuộc mặt phẳng (P) nên thay tọa độ N vào phương trình của (P), ta được:

\((3 - 2t) + ( - 2 - t) - 2(2 - t) + 5 = 0 \Leftrightarrow t = 2\).

Do đó \(M(3;2;4)\), \(N( - 1; - 4;0)\), \(\overrightarrow {MN} = ( - 1 - 3; - 4 - 2;0 - 4) = ( - 4; - 6; - 4)\).

Gọi điểm thuộc \(\Delta \) có hoành độ là 9 là \(B\left( {9;{y_0};{z_0}} \right)\).

\(\Delta \) nhận \(\overrightarrow u = - \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} = (2;3;2)\) làm vecto chỉ phương và đi qua điểm \(B\left( { - 9;{y_0};{z_0}} \right)\) có phương trình tham số:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 9 + 2m\\y = {y_0} + 3m\\z = {z_0} + 2m\end{array} \right.\) \((m \in \mathbb{R})\).

Vì \(M(3;2;4)\) thuộc \(\Delta \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}3 = - 9 + 2m\\2 = {y_0} + 3m\\4 = {z_0} + 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 6\\{y_0} = - 16\\{z_0} = - 8\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 9; - 16; - 8} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{{x + 9}}{2} = \frac{{y + 16}}{3} = \frac{{z + 8}}{2}\).

Ta có \({2^2} + {2^2} + {( - 16)^2} + {( - 8)^2} = 328\).

Tìm vecto pháp tuyến của (PQRS) bằng cách tính tích có hướng \(\left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PR} } \right]\).

Lập phương trình mặt phẳng (PQRS), từ đó lập phương trình (ABCD) song song với (PQRS) và đi qua A.

Ta có \(\overrightarrow {PQ} = ( - 10 + 490;0 - 0;200 - 200) = (480;0;0)\);

\(\overrightarrow {PR} = (0 + 490;1600 - 0;0 - 200) = (490;1600; - 200)\).

\(\left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PR} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\{1600}&{ - 200}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{480}\\{ - 200}&{490}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{480}&0\\{490}&{1600}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;96000;768000} \right)\).

Suy ra một vecto pháp tuyến của (PQRS) là \(\overrightarrow {{n_{PQRS}}} = \frac{1}{{96000}}\left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PR} } \right] = \left( {0;1;8} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (PQRS) là \(0\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 1600} \right) + 8\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 8z - 1600 = 0\).

Vì (ABCD) // (PQRS) nên phương trình của (ABCD) có dạng \(y + 8z + d = 0\).

A(0;0;-65) thuộc (ABCD) nên \(0 + 8.( - 65) + d = 0 \Leftrightarrow d = 520\).

Vậy (ABCD): \(y + 8z + 520 = 0\). Suy ra a = 8.

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần.

Gọi các biến cố:

A: “Bệnh án của bệnh nhân bị chấn thương đầu do tai nạn giao thông”.

Suy ra \(\overline A \): “Bệnh án của bệnh nhân bị chấn thương đầu do tai nạn khác”.

B: “Bệnh án của bệnh nhân tử vong”.

Vì 60% bệnh nhân chấn thương đầu do tai nạn giao thông nên P(A) = 60% = 0,6, suy ra xác suất bệnh nhân chấn thương đầu do tai nạn khác là \(P(\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - 0,6 = 0,4\).

Xác suất tử vong do chấn thương đầu vì tai nạn giao thông là 50%, do đó P(B|A) = 50% = 0,5.

Xác suất tử vong do chấn thương đầu vì tai nạn khác là 30%, do đó \(B(B|\overline A ) = 30\% = 0,3\).

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần, ta có xác suất một bệnh án của bệnh nhân tử vong ở khoa cấp cứu đó là:

\(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A ) = 0,6.0,5 + 0,4.0,3 = 0,42\).

Tìm giao điểm của hàm số \(y = \sqrt {5 - x} \) với trục hoành.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.

Ta có \(\sqrt {5 - x} = 0 \Leftrightarrow x = 5\), do đó đồ thị hàm số \(y = \sqrt {5 - x} \) giao với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0.

Thể tích khối tròn xoay khi quay D quanh trục Ox là:

\(V = \pi \int\limits_0^5 {{{\left( {\sqrt {5 - x} } \right)}^2}dx} = \int\limits_0^5 {\sqrt {5 - x} dx} = \pi \left( {5x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^5}\\{_0}\end{array}} \right. = \frac{{25\pi }}{2} \approx 39,3\).

Gọi vecto chỉ phương của d, \(\Delta \) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_d}} \), \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \), vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là \(\overrightarrow n \).

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow n = 0\end{array} \right.\)

Gọi vecto chỉ phương của d, \(\Delta \) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_d}} = (2; - 1;3)\), \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = ( - 1;b;c)\).

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là \(\overrightarrow n = (0;0;1)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \bot d\\\Delta //(Oxy)\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow n = 0\end{array} \right.\). Do đó \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\0&0\end{array}} \right|} \right) = ( - 1; - 2;0)\).

Vậy b + c = -2 + 0 = -2.

Áp dụng công thức nhân xác suất.

Gọi các biến cố:

X: “Viên bi lấy ra từ hộp 1 có màu xanh”.Y: “Viên bi lấy ra từ hộp 2 có màu xanh”.

TH1: Lấy được 2 bi xanh:

+ Công đoạn 1: Lấy bi xanh trong hộp 1: \(P(X) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\).

+ Công đoạn 2: Lấy bi xanh trong hộp 2 sau khi có thêm 1 bi xanh từ hộp 1: \(P(Y|X) = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\).

TH2: Lấy được 2 bi đỏ:

+ Công đoạn 1: Lấy bi đỏ trong hộp 1: \(P(\overline X ) = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\).

+ Công đoạn 2: Lấy bi đỏ trong hộp 2 sau khi có thêm 1 bi đỏ từ hộp 1: \(P(\overline Y |\overline X ) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(P(B) = P(XY) + P(\overline X \overline Y ) = P(X).P(Y|X) + P(\overline X ).P(\overline Y |\overline X ) = \frac{2}{5}.\frac{3}{5} + \frac{3}{5}.\frac{1}{2} = 0,54\).