Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Phép chiếu vuông góc - SGK Toán 11 Cùng khám phá
Tổng quan nội dung
Khám Phá Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập Tuyệt Vời Tại kienthucchiase.com
Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Nền tảng kienthucchiase.com được xây dựng với mục tiêu cốt lõi là mang tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng đến gần hơn với cộng đồng. Điều này không chỉ giúp tối ưu hiệu suất mà còn tạo cảm hứng mạnh mẽ để bạn tiếp tục đạt kết quả cao trong học tập. Bạn sẽ không phải thất vọng khi đặt niềm tin vào nền tảng của chúng tôi, nơi mà mọi tài liệu học tập và giải bài tập đều được kiểm duyệt kỹ lưỡng và sắp xếp khoa học.
Chúng tôi hiểu rằng chất lượng của tài liệu học tập và giải bài tập quyết định trực tiếp đến sự thành công của bạn. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại kienthucchiase.com giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Hãy biến mỗi phút giây trực tuyến của bạn thành những khoảnh khắc hữu ích.
A. Lý thuyết 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a) Khái niệm
A. Lý thuyết
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
a) Khái niệm
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\), kí hiệu \(d \bot (\alpha )\). |
b) Điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. |
2. Tính chất của quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a) Sự tồn tại của các đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau
- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. - Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. |
Lưu ý:
- Mặt phẳng qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
- Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng này.
b) Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
- Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. - Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. |
- Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. - Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. |
- Đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a. - Một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng đó, cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì song song với nhau. |
3. Phép chiếu vuông góc. Định lí ba đường vuông góc
a) Phép chiếu vuông góc
| Nếu \(\Delta \bot (\alpha )\) thì phép chiếu song song theo phương \(\Delta \) lên mặt phẳng \((\alpha )\) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \((\alpha )\). |
Nhận xét:
- Nếu phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \((\alpha )\) còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng \((\alpha )\). Nếu H’ là hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng
\((\alpha )\) thì ta cùng nói H’ là hình chiếu của H trên mặt phẳng \((\alpha )\).
- Phép chiếu vuông góc cũng có mọi tính chất của phép chiếu song song.
b) Định lí ba đường vuông góc
| Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và đường thẳng b không nằm trong (α), đồng thời không vuông góc với (α). Hình chiếu của b trên mặt phẳng (α) là đường thẳng b′. Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b′. |
4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
| Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α). Nếu a vuông góc với (α) thì góc giữa a và (α) bằng \({90^o}\). Nếu a không vuông góc với (α) thì góc giữa a và (α) là góc giữa a và hình chiếu a' của a trên (α). |
Lưu ý: Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α), ta có:
+ \({0^o} < \varphi < {90^o}\).
+ a // (α) hoặc \(a \subset (\alpha )\) thì \(\varphi = {0^o}\).
+ \(a \bot (\alpha ) \Leftrightarrow \varphi = {90^o}\).
B. Bài tập
Bài 1: Trong không gian, cho tam giác ABC và đường thẳng d vuông góc với AB và AC. Chứng minh d vuông góc với BC.
Giải:
Theo giả thiết: \(d \bot AB\); \(d \bot AC\). Hai đường thẳng AB và AC cắt nhau, tạo nên mặt phẳng (ABC). Áp dụng định lí trên, ta có \(d \bot (ABC)\). Mà \(BC \subset (ABC)\), nên \(d \bot BC\).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ABCD là hình vuông có O là giao điểm hai đường chéo.
a) Chứng minh rằng (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BD.
b) Gọi E là một điểm trong không gian sao cho DE ⊥ (SAC). Chứng minh B, D, E thẳng hàng.
c) c) Giả sử (α) là mặt phẳng qua S vuông góc với BD. Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (ABCD).
Giải:
a) Vì SA ⊥ (ABCD) nên BD ⊥ (SAC).
Ta lại có: BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông). Suy ra BD ⊥ (SAC).
b) Ta có: BD và DE cùng vuông góc với (SAC).
Do qua D có duy nhất một đường thẳng vuông góc với (SAC) nên các đường thẳng BD và DE phải trùng nhau. Điều đó có nghĩa là B, D, E thẳng hàng.
c) Ta đã chứng minh được BD ⊥ (SAC). Mặt khác, chỉ có một mặt phẳng qua S và vuông góc với BD, đó là mặt phẳng (SAC). Vậy mặt phẳng (α) chính là (SAC).
Suy ra giao tuyến của (α) và (ABCD) là AC.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC cân tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh MN và BC cùng vuông góc với mặt phẳng (SAP).
Giải:
ΔABC cân tại A, P là trung điểm của BC, do đó BC ⊥ AP.
SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC. Suy ra BC ⊥ (SAP).
Mà MN // BC (đường trung bình của tam giác BAC) nên hai đường thẳng BC, MN cùng vuông góc với mặt phẳng (SAP).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi N, M lần lượt là trung điểm của các cạnh SD, AD. Mặt phẳng (α) qua MN và song song với AC. Chứng minh BD vuông góc mặt phẳng (α).
Giải:
Ta có MN // SA (đường trung bình trong tam giác SAD) ⇒ (α) // SA, mà (α) // AC nên (α) // (SAC).
Ta có BD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) và BD ⊥ AC (hai đường chéo hình vuông) nên BD ⊥ (SAC).
Vậy BD ⊥ (α).
Bài 5: Cho mặt phẳng (α) và tam giác OAB vuông tại O có cạnh OA // (α), cạnh OB không vuông góc với (α). Qua O, A, B lần lượt vẽ đường thẳng d, a, b vuông góc với (α) và cắt (α) lần lượt tại O', A', B'. Chứng minh tam giác O'A'B' vuông tại O'.
Giải:
Ta có: OA // (α), OO' ⊥ (α) nên OO' ⊥ OA.
Mà OA ⊥ OB nên A ⊥ (OO'B') (OO' // BB' vì cùng vuông góc với (α)).
Do OA // (α), (OO'A) ∩ (α) = O'A' ⊥ OA.
Vậy O'A' ⊥ (OO'B') nên O'A' ⊥ O'B' hay tam giác O'A'B' vuông tại O'.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA vuông góc với đáy (ABCD). Xác định hình chiếu của:
a) Đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABCD).
b) Cạnh SC trên mặt phẳng (ABCD).
c) Tam giác SBD trên mặt phẳng (ABCD).
Giải:
a) Theo giả thiết, SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABCD) là điểm A.
b) C ∈ (ABCD) nên hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABCD) chính là C. Mặt khác, hình chiếu của S trên (ABCD) là điểm A. Suy ra, hình chiếu của cạnh SC trên (ABCD) là AC.
c) Hình chiếu của B, D trên (ABCD) lần lượt là chính B, D. Hình chiếu của S trên (ABCD) là A.
Suy ra, hình chiếu của ΔSBD trên (ABCD) là ΔABD.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh rằng ABCD là hình thoi khi và chỉ khi BD vuông góc với SC.
Giải:
Theo giả thiết, SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là A. Vì C ∈ (ABCD) nên hình chiếu của C là chính nó. Vậy hình chiếu của cạnh SC là AC.
Từ đó suy ra:
- Nếu ABCD là hình thoi thì BD ⊥ SC. Do đó, BD ⊥ SC.
- Ngược lại, nếu SC ⊥ BD vuông góc với hình chiếu của SC, nghĩa là BD ⊥ AC. Khi đó, hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Suy ra ABCD là hình thoi.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = \(a\sqrt 2 \). Xác định và tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Giải:
Ta có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC. Đó là \(\widehat {SCA}\).
Ta có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{{\sqrt 2 a}} = 1\). Suy ra \(\widehat {SCA} = {45^o}\).
Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SCA} = {45^o}\).
Lợi Ích Khi Tra Cứu Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập Trên kienthucchiase.com
Chúng tôi hiểu rằng chất lượng của tài liệu học tập và giải bài tập quyết định trực tiếp đến sự thành công của bạn. Nền tảng kienthucchiase.com được xây dựng với mục tiêu cốt lõi là mang tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng đến gần hơn với cộng đồng. Việc đạt kết quả cao trong học tập giờ đây trở nên vô cùng đơn giản. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Sự phong phú của tài liệu học tập và giải bài tập trên hệ thống mang lại vô vàn lựa chọn cho người dùng. Bằng cách tham khảo tài liệu học tập và giải bài tập thường xuyên trên kienthucchiase.com, bạn sẽ nắm bắt được những xu hướng mới nhất. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Đừng quên chia sẻ những tài liệu học tập và giải bài tập bổ ích này đến bạn bè và đồng nghiệp để cùng nhau lan tỏa tri thức.
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, kienthucchiase.com tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Sự hài lòng của bạn chính là động lực để hệ thống không ngừng nâng cấp và mở rộng chuyên mục tài liệu học tập và giải bài tập. Hãy chủ động xây dựng kế hoạch đạt kết quả cao trong học tập hợp lý kết hợp với những tài liệu học tập và giải bài tập tuyệt vời này để đạt được thành tựu như mong muốn.
Hướng Dẫn Sử Dụng Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập Hiệu Quả
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Chính vì vậy, kienthucchiase.com luôn ưu tiên tuyển chọn tài liệu học tập và giải bài tập từ những nguồn uy tín. Đội ngũ của chúng tôi luôn nỗ lực cập nhật dữ liệu liên tục để mang đến trải nghiệm tuyệt vời. Với định hướng phát triển bền vững, thư viện tài liệu học tập và giải bài tập này hứa hẹn sẽ còn mang đến nhiều bất ngờ thú vị.
Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng và vốn sống của mỗi cá nhân. Chỉ với một thiết bị kết nối mạng, kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập khổng lồ của kienthucchiase.com luôn sẵn sàng phục vụ bạn 24/7. Chúng tôi cam kết duy trì sự ổn định để bạn yên tâm đạt kết quả cao trong học tập mà không gặp bất kỳ trở ngại nào. Hãy chủ động xây dựng kế hoạch đạt kết quả cao trong học tập hợp lý kết hợp với những tài liệu học tập và giải bài tập tuyệt vời này để đạt được thành tựu như mong muốn.
Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành một phần không thể thiếu đối với mọi người. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại kienthucchiase.com giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Mỗi một tài liệu học tập và giải bài tập đều được trình bày rõ ràng, mạch lạc nhằm hỗ trợ bạn đạt kết quả cao trong học tập hiệu quả nhất. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Đặc Điểm Nổi Bật Của Nền Tảng
- Điểm mạnh số 1: Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 2: Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Khác với các phương ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 3: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 4: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 5: Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
Những Lưu Ý Khi Trải Nghiệm Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Chỉ với một thiết bị kết nối mạng, kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập khổng lồ của kienthucchiase.com luôn sẵn sàng phục vụ bạn 24/7. Sự kết hợp hài hòa giữa giao diện trực quan và nội dung phong phú là điểm cộng lớn cho quá trình đạt kết quả cao trong học tập. Hãy biến mỗi phút giây trực tuyến của bạn thành những khoảnh khắc hữu ích.
Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Nền tảng kienthucchiase.com được xây dựng với mục tiêu cốt lõi là mang tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng đến gần hơn với cộng đồng. Không chỉ tiện lợi, tốc độ tải trang nhanh và hệ thống máy chủ ổn định giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập không bao giờ bị gián đoạn. Có thể nói, việc tích cực tham khảo tài liệu học tập và giải bài tập chính là khoản đầu tư sinh lời tốt nhất cho tương lai của bạn.
Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành một phần không thể thiếu đối với mọi người. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, kienthucchiase.com tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Chúng tôi cam kết duy trì sự ổn định để bạn yên tâm đạt kết quả cao trong học tập mà không gặp bất kỳ trở ngại nào. Với định hướng phát triển bền vững, thư viện tài liệu học tập và giải bài tập này hứa hẹn sẽ còn mang đến nhiều bất ngờ thú vị.
Giải Đáp Thắc Mắc: Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại kienthucchiase.com có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Sự phong phú của tài liệu học tập và giải bài tập trên hệ thống mang lại vô vàn lựa chọn cho người dùng. Bằng cách tham khảo tài liệu học tập và giải .
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại kienthucchiase.com có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Với sự ra đời của các nền tảng trực tuyến, việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập trở nên thuận tiện hơn bao giờ hết. Nền tảng kienthucchiase..
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại kienthucchiase.com có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Sự phát triển không ngừng của tài liệu học tập và giải bài tập đã mở ra những hướng đi mới, mang lại nhiều lợi ích thiết thực. Các tài liệu học tập và.
Tổng Kết Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Chỉ với một thiết bị kết nối mạng, kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập khổng lồ của kienthucchiase.com luôn sẵn sàng phục vụ bạn 24/7. Sự hài lòng của bạn chính là động lực để hệ thống không ngừng nâng cấp và mở rộng chuyên mục tài liệu học tập và giải bài tập. Bạn sẽ không phải thất vọng khi đặt niềm tin vào nền tảng của chúng tôi, nơi mà mọi tài liệu học tập và giải bài tập đều được kiểm duyệt kỹ lưỡng và sắp xếp khoa học.
Chúng tôi hiểu rằng chất lượng của tài liệu học tập và giải bài tập quyết định trực tiếp đến sự thành công của bạn. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại kienthucchiase.com giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Đội ngũ của chúng tôi luôn nỗ lực cập nhật dữ liệu liên tục để mang đến trải nghiệm tuyệt vời. Với định hướng phát triển bền vững, thư viện tài liệu học tập và giải bài tập này hứa hẹn sẽ còn mang đến nhiều bất ngờ thú vị.